パラメータ表示された曲線の曲率半径 (radius of curvature of a parametrized curve)

xy 平面で定義された曲線が t をパラメータとして x=x(t) , y=y(t) で表されている場合,曲率半径

R= | ds dα |

において

tanα= dy dx = dy dt dx dt

より

(tanα ) dα= ( dy dt dx dt ) dt     ⇒     dα cos2 α = dxdt d2y dt2 dydt d2x dt2 ( dxdt ) 2 dt     ⇒     dα= 1 1+tan2α dxdt d2y dt2 dydt d2x dt2 ( dxdt ) 2 dt

となり,最終的に

dα= dxdt d2y dt2 dydt d2x dt2 ( dxdt ) 2 + ( dydt ) 2 dt

を得る.また

ds= (dx)2 + (dy)2 = ( dxdt ) 2 + ( dydt ) 2 dt

であるので,曲率半径 R t の関数として

R(t)= | ds dα | = | ( dxdt ) 2 + ( dydt ) 2 ( dxdt ) 2 + ( dydt ) 2 dxdt d2y dt2 dydt d2x dt2 | = { ( dxdt ) 2 + ( dydt ) 2 } 32 | dxdt d2y dt2 dydt d2x dt2 |

と求まる.

また,曲線上の点 P ( x(t) , y(t) ) 付近を近似する円の中心 C の座標 ( cx , cy )

( cx , cy ) = ( x(t) , y(t) ) + ( dy dα , dx dα ) = ( x(t) , y(t) ) + ( dxdt ) 2 + ( dydt ) 2 dxdt d2y dt2 dydt d2x dt2 ( dydt , dxdt )

となる.


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最終更新日:2023年9月30日