三角錐の体積

三角錐の体積＝底面積×高さ× ${\displaystyle \frac{1}{3}}$

■証明

三角柱を3つの三角錐に分解することで証明する．

(�T)三角錐 E-AFC と三角錐 E-AFD について

三角柱ABC-DEF の側面の四角形ACFD は平行四辺形である．

よって

${\displaystyle \text{AD}=\text{CF}}$　･･････(1)

${\displaystyle \text{AC}=\text{DF}}$　･･････(2)

となる．

次に，${\displaystyle △\text{AFC}}$ と${\displaystyle △\text{AFD}}$ について考える．

(1)，(2)と${\displaystyle \text{AF}}$が共通であることより

${\displaystyle △\text{AFC}\equiv △\text{AFD}}$　${\displaystyle (\because }$ 三角形の合同条件)　

が成り立ち

${\displaystyle △\text{AFC}}$ の面積＝ ${\displaystyle △\text{AFD}}$ の面積　･････(3)

となる．

□${\displaystyle \text{ACFD}}$ を底面とする四角錐${\displaystyle \text{E-AFCD}}$は${\displaystyle △\text{EAF}}$で三角錐E-AFCと三角錐E-AFD に2分割される．(3)より底面が面積の等しい三角形に分割されているので

三角錐 ${\displaystyle \text{E-AFC}}$ の体積＝三角錐 ${\displaystyle \text{E=AFD}}$ の体積　･･････(4)

が成り立つ．

(�U)三角錐 A-CBE と三角錐 A-ECF について

 

三角柱 ABC-DEF の側面□ BCFE は平行四辺形である．

よって

${\displaystyle \text{BC}=\text{FE}}$ 　 ･･････(5)

${\displaystyle \text{BE}=\text{FC}}$ 　 ･･････(6)

となる．

次に， ${\displaystyle △\text{CEB}}$ と ${\displaystyle △\text{ECF}}$ について考える．

(5)，(6)と ${\displaystyle \mathrm{CE}}$ が共通であることより

${\displaystyle △\text{CEB}\equiv △\text{ECF}}$ 　 ${\displaystyle (\because }$ 三角形の合同条件)　

が成り立ち

${\displaystyle △\text{CEB}}$ の面積＝ ${\displaystyle △\text{ECF}}$ の面積　･････(7)

となる．

□ ${\displaystyle \text{BCFE}}$ を底面とする四角錐 ${\displaystyle \text{A-BAFE}}$ は ${\displaystyle △\text{ACE}}$ で三角錐 A-CBE と三角錐 A-ECF に2分割される．(6)より底面が面積の等しい三角形に分割されているので

三角錐 A-CBE の体積＝三角錐 A-ECF の体積　･･････(8)

が成り立つ．

(4)，(8)より

三角錐${\displaystyle \text{E-AFD}}$の体積＝三角錐 ${\displaystyle \text{E-AFC}}$の体積（三角錐A-ECFの体積）＝三角錐A-CBE の体積　･･････(9)

となり3つの三角錐の体積は等しい．

よって，

${\displaystyle △\text{DEF}}$を底面とする三角錐${\displaystyle \text{A-DEF}}$（三角錐${\displaystyle \text{E-AFD}}$）の体積＝${\displaystyle \frac{1}{\text{3}}}$×三角柱ABC-DEF の体積　･･････(10)

となる．

また

${\displaystyle △\text{DEF}}$ を底面とする三角錐 ${\displaystyle \text{A-DEF}}$ （三角錐 ${\displaystyle \text{E-AFD}}$ ）の高さは，三角柱 ABC-DEF の高さと等しい　･･････(11)

(10)，(11)より三角錐の体積は，

三角錐の体積＝底面積×高さ× ${\displaystyle \frac{1}{3}}$

となる．

 

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最終更新日： 2024年1月29日