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応用分野: 垂線の長さ (点と直線の距離)

垂線の長さ(点と直線の距離)その2

( x 0 , y 0 ) から直線 ax+by+c=0への垂線の長さは,
(言い換えると 点 ( x 0 , y 0 ) と直線 ax+by+c=0 との距離は,)

| a x 0 +b y 0 +c | a 2 + b 2

となる.

■導出計算

直線 と点 P の距離を求める.

直線 の方程式は ax+by+c=0 で, 点 Pの座標は (x0,y0 )である. 点 Pから直線 に垂線を下ろし,直線 との交点を Hとする. 線分 PHの長さが直線 と点 Pの距離である.(図1)

計算を簡単にするために,点 Pと直線 l x軸方向に x0 y軸方向に y0 平行移動し,点 Pを原点に重ねる. 直線 は,平行移動により

a (x+x0)+b (y+y0) +c=0・・・・(1)

で表わされる直線 に移る. また,点 Hは点 Hに移る.(図2)

平行移動しただけであるので,

OH =OH

である.

直線 x軸の交点を Qとする. 直線 の傾きと等しく,

ax +by+c=0

by=ax c

y=abxcb

より,a bである.

線分 GH より線分 OHの傾きを mとすると,

m (ab)=1

となり,

m= ba

となる.

よって,線分 OHに平行なベクトルを aとすると

a=(a,b )

である.

a OQ のなす角をθ とすると,

OH '=OQcosθ ・・・・(2)

となる.a OH と逆向きの場合もある(図3).その場合,

OH '=OQcos( 180θ)

=OQ (cosθ) ・・・・(3)

となる.よって(2),(3)より

OH =OQ|cos θ |

となる.

Qの座標を求める.(1)において,y= 0より

a( x+ x 0 )+b y 0 +c=0

a( x+ x 0 )=b y 0 c

x+ x 0 = b a y 0 c a

x= x 0 b a y 0 c a

よって点 Qの座標は

( x 0 b a y 0 c a ,0 )

である.

cosθ= a OQ | a || OQ |

OQ =( x 0 b a y 0 c a ,0 )

OQ=| OQ |

より,

OH =| OQ | a OQ | a || OQ | = | a || OQ | | a | = | a x 0 +b y 0 +c | a 2 + b 2

別解

 

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初版:2010年11月6日,最終更新日: 2012年5月10日 e -->

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