写像の合成

2つの写像  ${\displaystyle f:\text{X}\to \text{Y}}$ ，${\displaystyle g:\text{Y}\to \text{Z}}$がある． 集合${\displaystyle X}$ の要素x は写像f により，集合${\displaystyle Y}$ の要素yに対応し，集合${\displaystyle Y}$ の要素y は，写像g により，集合Zの要素zに対応する．f とg の写像を続けて行うことにより，集合${\displaystyle X}$ の要素x は集合${\displaystyle Z}$ の要素zに対応する．このように2つの写像を連続して行う対応を写像の合成といい，合成された写像（合成写像）をh とすると，

${\displaystyle h=g\circ f}$

で表す．

合成写像の概念を図で示すと下図のようになる．

集合${\displaystyle X}$の要素x の像はf( x ) ．集合${\displaystyle Y}$ の要素yの像はg( y ) となる．これを式で表すと，

${\displaystyle y=f\left(x\right)}$  ･･････(1)

${\displaystyle z=g\left(y\right)}$   ･･････(2)

となる．2つの式を合成すると（(1)を(2)に代入すると），

${\displaystyle z=g\left(f\left(x\right)\right)}$  

となる．合成写像${\displaystyle g\circ f}$  による集合${\displaystyle X}$ の要素の像は${\displaystyle g\left(f\left(x\right)\right)}$ と表される．

 

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最終更新日 2023年4月13日