関数の極限の定義

■収束について 

関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ において，${\displaystyle x}$が${\displaystyle a}$ と異なる値をとりながら${\displaystyle a}$に限りなく近づくとき，${\displaystyle f\left(x\right)}$が一定値${\displaystyle \alpha }$に限りなく近づく場合

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=\alpha }$（あるいは，${\displaystyle x\to a}$ のとき${\displaystyle f\left(x\right)\to \alpha }$ ）

と表す．${\displaystyle \alpha }$を${\displaystyle x\to a}$のときの${\displaystyle f\left(x\right)}$の極限値といい， ${\displaystyle x\to a}$のとき，${\displaystyle f\left(x\right)}$は${\displaystyle \alpha }$に収束するという．

●参考

定義ε-δ論法による極限の定義

$a$の近くで定義された関数$f\left(x\right)$において，任意の正数$\epsilon$ に対して，適当な正の数$\delta$ があって， $0<\left|x-a\right|<\delta$のすべての$x$ について${\displaystyle \left|f\left(x\right)-b\right|<\epsilon }$ となるならば，これを $x\to a$のとき$f\left(x\right)\to b$あるいは${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=b}$ とかき，$b$を$x\to a$のときの極限値という 引用元：田島一郎，イプシロン・デルタ．共立出版，1978年，p2

■発散について 

関数${\displaystyle f\left(x\right)}$において，${\displaystyle x}$が${\displaystyle a}$と異なる値をとりながら${\displaystyle a}$に限りなく近づくとき， それに応じて，${\displaystyle f\left(x\right)}$の値が限りなく大きくなる場合 

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=+\infty }$（または，${\displaystyle x\to a}$のとき${\displaystyle f\left(x\right)\to +\infty }$ ）

と表す ．${\displaystyle x\to a}$のとき，${\displaystyle f\left(x\right)}$は正の無限大に発散する という．

また${\displaystyle x}$ が${\displaystyle a}$と異なる値をとりながら${\displaystyle a}$に限りなく近づくとき， ${\displaystyle f\left(x\right)}$の値が負で，その絶対値が限りなく大きくなる場合 

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=-\infty }$（または， ${\displaystyle x\to a}$のとき${\displaystyle f\left(x\right)\to -\infty }$ ）

と表す ．${\displaystyle x\to a}$のとき，${\displaystyle f\left(x\right)}$は負の無限大に発散する という．

■極限なし 

関数${\displaystyle f\left(x\right)}$について 

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=\alpha }$，${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=+\infty }$ ，${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=-\infty }$  

のいずれでもない場合，${\displaystyle x\to a}$のときの${\displaystyle f\left(x\right)}$の極限はないという． 

■右側極限，左側極限

変数${\displaystyle x}$が１つの値${\displaystyle a}$に限りなく近づくとき，${\displaystyle a}$より大きい値をとりながらに近づく場合と${\displaystyle a}$より小さい値をとりながらに近づく場合がある． 

• ${\displaystyle a}$より大きい値をとりながらに近づく場合には ${\displaystyle x\to a+0}$
• ${\displaystyle a}$より小さい値をとりながらに近づく場合には ${\displaystyle x\to a-0}$

と表し， ${\displaystyle a=0}$の場合はそれぞれ，  ${\displaystyle x\to +0}$， ${\displaystyle x\to -0}$と表す．

${\displaystyle x\to a+0}$，${\displaystyle x\to a-0}$のときの${\displaystyle f\left(x\right)}$の極限を，それぞれ${\displaystyle x}$が${\displaystyle a}$に近づくときの${\displaystyle f\left(x\right)}$の右側極限，左側極限といい 

${\displaystyle \underset{x\to a+0}{lim}f\left(x\right)=\alpha }$，${\displaystyle \underset{x\to a-0}{lim}f\left(x\right)=\alpha }$  

と表す． 

${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=\alpha }$であることは， ${\displaystyle x}$が ${\displaystyle a}$と異なる値をとりながら ${\displaystyle a}$に限りなく近づくとき， どのような近づき方をしても， ${\displaystyle f\left(x\right)}$の値は ${\displaystyle \alpha }$に限りなく近づくことを意味している．

したがって，

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=\alpha }$ならば ${\displaystyle \underset{x\to a+0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to a-0}{lim}f\left(x\right)=\alpha }$

である． ${\displaystyle \underset{x\to a+0}{lim}f\left(x\right)}$ と${\displaystyle \underset{x\to a-0}{lim}f\left(x\right)}$の値が異なるならば ${\displaystyle x\to a}$のときの${\displaystyle f\left(x\right)}$の極限はない． 

■${\displaystyle x\to +\infty ,x\to -\infty }$のときの極限

これまでは，${\displaystyle a}$が一定の数を表すとき，${\displaystyle x\to a}$のときの関数の極限を考えたが，${\displaystyle x\to +\infty }$ （${\displaystyle x}$の値が限りなく大きくなる），あるいは ${\displaystyle x\to -\infty }$（${\displaystyle x}$の値が負でその絶対値の値が限りなく大きくなる）の場合の極限について説明する． 

${\displaystyle x\to +\infty }$のとき，関数${\displaystyle f\left(x\right)}$がある一定値${\displaystyle \alpha }$に限りなく近づく場合

${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\alpha }$ （${\displaystyle x\to +\infty }$のとき${\displaystyle f\left(x\right)\to \alpha }$）  

と表す．

${\displaystyle x\to -\infty }$のとき，関数${\displaystyle f\left(x\right)}$がある一定値${\displaystyle \alpha }$に限りなく近づく場合

${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\alpha }$ （${\displaystyle x\to -\infty }$のとき${\displaystyle f\left(x\right)\to \alpha }$）  

と表す．

 

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最終更新日： 2024年5月27日