# 余弦定理

$\begin{array}{l}{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\text{A}\\ {b}^{2}={c}^{2}+{a}^{2}-2cacos\text{B}\\ {c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}-2abcos\text{C}\end{array}$

この関係を余弦定理という．

## ■証明

${\text{CB}}^{2}={\text{CD}}^{2}+{\text{BD}}^{2}$･･････(1)

となる．

$\text{CB}=a$$\text{CD}=bsin\text{A}$  (⇒ここを参照)，$\text{BD}=c-bcos\text{A}$  の関係を(1)に代入すると

$\begin{array}{l}{a}^{2}={\left(bsin\text{A}\right)}^{2}+{\left(c-bcos\text{A}\right)}^{2}\\ \text{ }={b}^{2}{sin}^{2}\text{A}+{c}^{2}-2cbcos\text{A}+{b}^{2}{cos}^{2}\text{A}\\ \text{ }={b}^{2}\left({sin}^{2}\text{A}+{cos}^{2}\text{A}\right)+{c}^{2}-2cbcos\text{A}\\ \text{ }={b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\text{A}\\ \therefore {a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\text{A}\end{array}$

が求められる．

$\text{A}=90°$ ，鈍角の場合の証明は省略

$\begin{array}{c}{b}^{2}={c}^{2}+{a}^{2}-2cacos\text{B}\\ {c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}-2abcos\text{C}\end{array}$

も求められる．

## ■内積を用いた証明

$\stackrel{\to }{c}=\stackrel{\to }{a}-\stackrel{\to }{b}$　･･････(2)

$\left|\stackrel{\to }{c}\right|=\left|\stackrel{\to }{a}-\stackrel{\to }{b}\right|$　･･････(3)

(3)の両辺を2乗する．

${\left|\stackrel{\to }{c}\right|}^{2}={\left|\stackrel{\to }{a}-\stackrel{\to }{b}\right|}^{2}$　･･････(4)

${\left|\stackrel{\to }{c}\right|}^{2}=\left(\stackrel{\to }{a}-\stackrel{\to }{b}\right)\cdot \left(\stackrel{\to }{a}-\stackrel{\to }{b}\right)$

$=\left(\stackrel{\to }{a}-\stackrel{\to }{b}\right)\cdot \stackrel{\to }{a}+\left(\stackrel{\to }{a}-\stackrel{\to }{b}\right)\cdot \left(-\stackrel{\to }{b}\right)$

$=\left(\stackrel{\to }{a}-\stackrel{\to }{b}\right)\cdot \stackrel{\to }{a}-\left(\stackrel{\to }{a}-\stackrel{\to }{b}\right)\cdot \stackrel{\to }{b}$

$=\stackrel{\to }{a}\cdot \stackrel{\to }{a}-\stackrel{\to }{b}\cdot \stackrel{\to }{a}-\stackrel{\to }{a}\cdot \stackrel{\to }{b}+\stackrel{\to }{b}\cdot \stackrel{\to }{b}$

$={\left|\stackrel{\to }{a}\right|}^{2}+{\left|\stackrel{\to }{b}\right|}^{2}-2\stackrel{\to }{a}\cdot \stackrel{\to }{b}$

$={\left|\stackrel{\to }{a}\right|}^{2}+{\left|\stackrel{\to }{b}\right|}^{2}-2\left|\stackrel{\to }{a}\right|\left|\stackrel{\to }{b}\right|\mathrm{cos}\theta$

ここで

$\left|\stackrel{\to }{a}\right|=a$$\left|\stackrel{\to }{b}\right|=b$$\left|\stackrel{\to }{c}\right|=c$とおくと

${c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}-2ab\mathrm{cos}\theta$

となり，余弦定理が導かれた．

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