tanθと単位円と直線x=1の関係

● ${\displaystyle 0\leqq \theta <\frac{\pi }{2}}$ の場合

$\tan \theta$ の定義より

${\displaystyle \tan \theta =\frac{y}{x}}$

${\displaystyle =\frac{\overline{\text{QP}}}{\overline{\text{OQ}}}}$

${\displaystyle =\frac{\overline{\text{TS}}}{\overline{\text{OT}}}}$ （∵△ $\text{OQP}$ ∽ $\text{OTS}$ ）

${\displaystyle =\overline{\text{TS}}}$ （∵ ${\displaystyle \overline{\text{OT}}=1}$ ）

$=m$

● ${\displaystyle \frac{\pi }{2}<\theta \leqq \pi }$ の場合

$\tan \theta$ の定義より

${\displaystyle \tan \theta =\frac{y}{x}}$

${\displaystyle =\frac{\overline{\text{QP}}}{-\overline{\text{OQ}}}}$ （∵ ${\displaystyle x<0}$ より ${\displaystyle x=-\overline{\text{OQ}}}$ ）

${\displaystyle =\frac{\overline{\text{TS}}}{-\overline{\text{OT}}}}$ （∵△ $\text{OQP}$ ∽ $\text{OTS}$ ）

${\displaystyle =-\overline{\text{TS}}}$ （∵ ${\displaystyle \overline{\text{OT}}=1}$ ）

$=m$ （∵ ${\displaystyle m<0}$ より ${\displaystyle m=-\overline{\text{TS}}}$ ）

● ${\displaystyle \pi <\theta <\frac{3}{2}\pi }$ の場合

$\tan \theta$ の定義より

${\displaystyle \tan \theta =\frac{y}{x}}$

${\displaystyle =\frac{-\overline{\text{QP}}}{-\overline{\text{OQ}}}}$

∵ ${\displaystyle x<0}$ より ${\displaystyle x=-\overline{\text{OQ}}}$ ， ${\displaystyle y<0}$ より ${\displaystyle y=-\overline{\text{QP}}}$

${\displaystyle =\frac{-\overline{\text{TS}}}{-\overline{\text{OT}}}}$ （∵△ $\text{OQP}$ ∽ $\text{OTS}$ ）

${\displaystyle =\overline{\text{TS}}}$ （∵ ${\displaystyle \overline{\text{OT}}=1}$ ）

$=m$

● ${\displaystyle \frac{3}{2}\pi <\theta <2\pi }$ の場合

$\tan \theta$ の定義より

${\displaystyle \tan \theta =\frac{y}{x}}$

${\displaystyle =\frac{-\overline{\text{QP}}}{\overline{\text{OQ}}}}$ （∵ ${\displaystyle y<0}$ より ${\displaystyle x=-\overline{\text{QP}}}$ ）

${\displaystyle =\frac{-\overline{\text{TS}}}{\overline{\text{OT}}}}$ （∵△ $\text{OQP}$ ∽ $\text{OTS}$ ）

${\displaystyle =-\overline{\text{TS}}}$ （∵ ${\displaystyle \overline{\text{OT}}=1}$ ）

$=m$ （∵ ${\displaystyle m<0}$ より ${\displaystyle m=-\overline{\text{TS}}}$ ）