ベクトルを用いた三角関数の合成公式の導出

$a sin θ + b cos θ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} sin (θ + α)$

$a sin θ + b cos θ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} cos (θ - β)$

■証明

図のように $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を定める．ただし， $|\vec{a}| = a$ ， $|\vec{b}| = b$ とする．

各ベクトルを成分表示すると

$\vec{a} = (a \cos θ, a \sin θ)$ ･･････(1)

$\vec{b} = (- b \sin θ, b \cos θ)$ ･･････(2)

である．

$\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{b}$ の終点をそれぞれ $A$ 点， $B$ 点， $C$ 点とする．

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は $90^{\circ}$ であるので， $△ OAC$ は直角三角形である．よって， $| \vec{a} + \vec{b} |$ 　は

$| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 　

となる． $\vec{a} + \vec{b}$ と $x$ 軸のなす角は $θ + α$ である．よって $\vec{a} + \vec{b}$ を成分表示すると　

$\vec{a} + \vec{b}$ $= (\sqrt{a^{2} + b^{2}} \cos (θ + α),$ $\sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (θ + α))$ 　･･････(3)

となる．また， $\vec{a} + \vec{b}$ と $y$ 軸のなす角は $θ - β$ である．よって $θ - β$ を使って　

$\vec{a} + \vec{b}$ を成分表示すると

$\vec{a} + \vec{b}$ $= (- \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (θ - β),$ $\sqrt{a^{2} + b^{2}} \cos (θ - β))$ ･･････(4)

となる．

一方，(1)，(2)より

$\vec{a} + \vec{b}$ $= (a \cos θ, a \sin θ)$ $+ (- b \sin θ, b \cos θ)$ $= (a \cos θ - b \sin θ,$ $a \sin θ + b \cos θ)$ ･･････(5)

となる．(3)，(4)，(5)の成分は等しい．よって

$a \sin θ + b \cos θ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (θ + α)$

$a \sin θ + b \cos θ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cos (θ - β)$

ただし， $\tan α = \frac{b}{a}$ ， $\tan β = \frac{a}{b}$

が得られる．

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最終更新日： 2022年12月3日