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積分　logx

${\displaystyle \int logxdx=\int 1·logxdx}$

と考えて部分積分を行なう．

部分積分の公式の

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}^{\text{}}f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$ ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-{{\displaystyle \int }}^{\text{}}{f}^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$

において， ${\displaystyle f\left(x\right)=\log x}$ ， ${\displaystyle g^{\prime }\left(x\right)=1=x^{\prime }}$ として計算する．

${\displaystyle \int 1·logxdx=\int x^{\prime }·logxdx}$

${\displaystyle =xlogx-\int x·{\left(logx\right)}^{\prime }dx}$

${\displaystyle =xlogx-\int x·\frac{1}{x}dx}$

${\displaystyle =xlogx-\int 1·dx}$

${\displaystyle =xlogx-x+C}$

${\displaystyle =x\left(logx-1\right)+C}$

（ ${\displaystyle C}$ は積分定数） 

■別解

${\displaystyle logx=t}$  とおいて置換積分を行う．

${\displaystyle x=e^t\to \frac{dx}{dt}=e^t\to dx=e^{t}dt}$

与式 ${\displaystyle =\int t{e}^{t}dt}$

${\displaystyle t{e}^t}$ は t と ${\displaystyle e^t}$ の積で， t を微分すると1となる． ⇒ 部分積分をするとよい．

部分積分の公式の

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}^{\text{}}f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$ ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-{{\displaystyle \int }}^{\text{}}{f}^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$

において， ${\displaystyle f\left(t\right)=t}$ ， ${\displaystyle g^{\prime }\left(t\right)=e^t}$ として計算を行なう．

${\displaystyle \int t{e}^{t}dt=t{e}^t-\int 1·e^{t}dt}$

${\displaystyle =t{e}^t-e^t+C}$

${\displaystyle =\left(logx\right)·x-x+C}$

${\displaystyle =x\left(logx-1\right)+C}$

（ ${\displaystyle C}$ は積分定数） 

　

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最終更新日 2025年4月21日

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