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積分 1/cosx 

1 cosx dx

1 cosx dx = cosx cos 2 x dx = cosx 1 sin 2 x dx

f( sinx )cosx  の形に式が変形できたので, sinx=t  とおいて置換積分を行う.

dt dx =cosxcosxdx=dt  

となるので,

cosx 1 sin 2 x dx = dt 1 t 2 = dt ( 1t )( 1+t )

分数関数の積分になるので,部分分数に分解をする.

1 ( 1t )( 1+t ) = A 1t + B 1+t = A( 1+t )+B( 1t ) ( 1t )( 1+t ) = ( AB )t+( A+B ) ( 1t )( 1+t ) { AB=0 A+B=1 A=B 2B=1 B= 1 2 ,A= 1 2 1 ( 1t )( 1+t ) = 1 2 ( 1 1t + 1 1+t )

よって,

dt ( 1t )( 1+t ) = 1 2 ( 1 1t + 1 1+t )dx = 1 2 { log| 1t |+log| 1+t | }+C = 1 2 log| 1+t 1t |+C = 1 2 log( 1+sinx 1sinx )+C

C は積分定数) 

1 cosx dx = 1 2 log( 1+sinx 1sinx )+C



また,別の置換方法を用いても解を得ることができる.
詳しくはここを参照.

 

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  初版:2004年8月23日 ,最終更新日: 2007年12月26日

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