積分　1/cosx 

${\displaystyle \int \frac{1}{cosx}dx}$

${\displaystyle \begin{array}{ll}\int \frac{1}{cosx}dx\hfill & =\int \frac{cosx}{{cos}^{2}x}dx\hfill \\ \hfill & =\int \frac{cosx}{1-{sin}^{2}x}dx\hfill \end{array}}$

${\displaystyle f\left(sinx\right)cosx}$  の形に式が変形できたので，${\displaystyle sinx=t}$  とおいて置換積分を行う．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=cosx\to cosxdx=dt}$  

となるので，

${\displaystyle \begin{array}{ll}\int \frac{cosx}{1-{sin}^{2}x}dx\hfill & =\int \frac{dt}{1-t^2}\hfill \\ \hfill & =\int \frac{dt}{\left(1-t\right)\left(1+t\right)}\hfill \end{array}}$

分数関数の積分になるので，部分分数に分解をする．

${\displaystyle \begin{array}{l}\begin{array}{ll}\frac{1}{\left(1-t\right)\left(1+t\right)}\hfill & =\frac{A}{1-t}+\frac{B}{1+t}\hfill \\ \hfill & =\frac{A\left(1+t\right)+B\left(1-t\right)}{\left(1-t\right)\left(1+t\right)}\hfill \\ \hfill & =\frac{\left(A-B\right)t+\left(A+B\right)}{\left(1-t\right)\left(1+t\right)}\hfill \end{array}\\ \{\begin{array}{l}A-B=0\\ A+B=1\end{array}\\ A=B\\ 2B=1\\ B=\frac{1}{2},A=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{\left(1-t\right)\left(1+t\right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right)\end{array}}$

よって，

${\displaystyle \begin{array}{ll}\int \frac{dt}{\left(1-t\right)\left(1+t\right)}\hfill & =\frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right)dx\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{2}\left\{-log\left|1-t\right|+log\left|1+t\right|\right\}+C\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{2}log\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{2}log\left(\frac{1+sinx}{1-sinx}\right)+C\hfill \end{array}}$

（${\displaystyle C}$ は積分定数） 

${\displaystyle \int \frac{1}{cosx}dx=\frac{1}{2}log\left(\frac{1+sinx}{1-sinx}\right)+C}$

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　 初版：2004年8月23日 ，最終更新日： 2007年12月26日