置換積分法

$x=g\left(t\right)$ の関係に置換したとき

【不定積分】

${\displaystyle \int f\left(x\right)dx=\int f\left(x\right)\frac{dx}{dt}dt}$ ${\displaystyle =\int f\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$

【定積分】

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(x\right)\frac{dx}{dt}dt}$ ${\displaystyle ={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$

（ただし， $g\left(\alpha \right)=a$ ， $g\left(\beta \right)=b$ ）

となる．

■置換方法の例

　ここを参照のこと．

置換積分の理解に役立つ計算例

• ${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_1^{2}2dx={{\displaystyle \int }}_2^{4}dt}$ ⇒ 計算の詳細
• ${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_1^{2}2xdx=\frac{1}{2}{{\displaystyle \int }}_2^{4}tdt={{\displaystyle \int }}_1^{4}dt}$ ⇒ 計算の詳細
• ${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_1^4{x}^{2}dx=\frac{1}{2}{{\displaystyle \int }}_1^{16}{t}^{\frac{1}{2}}dt}$  ⇒ 計算の詳細
• ${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_{\frac{1}{2}}^1\sqrt{1-x^2}dx}$ ⇒ 計算の詳細

■関連動画

■解説

置換積分の公式は合成関数の微分の公式に対応するものである．

関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の原始関数の1つを ${\displaystyle F\left(x\right)}$ とすると

${\displaystyle F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)}$ 　　･･････(1)

${\displaystyle \int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C}$  （ C ：積分定数）　　･･････(2)

の関係がある．

また， ${\displaystyle x=g\left(t\right)}$ の関係があると， 関数 ${\displaystyle F\left(x\right)}$ は

${\displaystyle F\left(x\right)=F\left(g\left(t\right)\right)}$ 　　･･････(3)

となる． ${\displaystyle F\left(g\left(t\right)\right)}$ を変数 t で微分すると，合成関数の微分より

${\displaystyle {\left\{F\left(g\left(t\right)\right)\right\}}^{\prime }=F^{\prime }\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)}$ 　　･･････(4)

両辺を変数 t で積分すると

${\displaystyle \int {\left\{F\left(g\left(t\right)\right)\right\}}^{\prime }dt+C}$${\displaystyle =\int F^{\prime }\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$     （積分定数 C を左辺にまとめて入れている）

${\displaystyle F\left(g\left(t\right)\right)+C=\int F^{\prime }\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$ 　　･･････(5)

${\displaystyle g\left(t\right)=x}$ を(5)の左辺に適用すると

${\displaystyle F\left(x\right)+C=\int F^{\prime }\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$ 　　･･････(6)

(1)，(2)を(6)に適用すると，

${\displaystyle \int f\left(x\right)dx=\int f\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$

となり，置換積分の公式が得られる．

あるいは， x が t の関数であると考えると

${\displaystyle dx=\frac{dx}{dt}dt}$

であるので，簡単に置換積分の公式が得られる．微分形式を参照のこと．

定積分において，積分範囲は x が ${\displaystyle a\to b}$ に変化するとき， t が ${\displaystyle \alpha \to \beta }$ に変化するので，積分範囲を変更する必要がある．

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最終更新日： 2026年9月18日

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