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応用分野: 積分の計算手順知っていると便利な積分の公式

高次の三角関数の積分(1)

f( sinx )cosxdx = f( t ) dt  ・・・(1)

■導出

sin x = t とおき,置換積分を行う.

f( sinx )=f( t )

sinx=t とおいたとき,この式を微分すると,

dt dx =cosxdt=cosxdx

従って, f( sinx )cosx の置換積分は,

f( sinx )cosxdx = f( t ) dt

となり,(1)式が導出される.

この方法は積分される関数(被積分関数)が, sinx の関数 f( sinx ) cosx の積である場合に適用できる.

■具体例

sin 2 xcosxdx  ・・・(2)

という関数の積分を例に考える.ここで, sinx=t とおき,これを微分する.

dt dx =cosxdt=cosxdx

これらを用いて(2)式を置換積分すると,

sin 2 xcosxdx t 2 dt

t 2 d t = 1 3 t 3 + C

= 1 3 sin 3 x + C

他にも応用例があり,以下参照

cos 3 xdx    ここの置換積分で解く方法を参照

1 cosx dx       ここを参照

1 cos 3 x dx       ここの置換積分で解く方法を参照

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2018年3月14日

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