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高次の三角関数の積分(1)

${\displaystyle \int f\left(sinx\right)cosxdx=\int f\left(t\right)dt}$　･･････(1)

■導出

${\displaystyle sinx=t}$ とおき，置換積分を行う．

${\displaystyle f\left(sinx\right)=f\left(t\right)}$

${\displaystyle sinx=t}$とおいたとき，この式を微分すると

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=cosx\to dt=cosxdx}$

したがって，${\displaystyle f\left(sinx\right)cosx}$の置換積分は

${\displaystyle \int f\left(sinx\right)cosxdx=\int f\left(t\right)dt}$

となり，(1)式が導出される．

この方法は積分される関数（被積分関数）が，${\displaystyle sinx}$の関数${\displaystyle f\left(sinx\right)}$と${\displaystyle cosx}$の積である場合に適用できる．

■具体例

${\displaystyle \int {sin}^{2}xcosxdx}$ 　･･････(2)

という関数の積分を例に考える．ここで，${\displaystyle sinx=t}$とおき，これを微分する．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=cosx\to dt=cosxdx}$

これらを用いて(2)式を置換積分すると

${\displaystyle \int {sin}^{2}xcosxdx=\int t^{2}dt}$${\displaystyle =\frac{1}{3}{t}^3+C}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3}{sin}^{3}x+C}$

他にも応用例があり，以下参照

 

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年7月30日

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