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応用分野: 積分の計算手順知っていると便利な積分の公式

高次の三角関数の積分(3)

f( tanx ) 1 cos 2 x dx= f( t )dt  ・・・(1)

■導出

tanx=t とおく置換積分を行う.

f( tanx )=f( t )

tanx=t とおいたき,この式を微分すると,

dt dx = 1 cos 2 x dt= 1 cos 2 x dx

従って, f( tanx ) 1 cos 2 x 置換積分は,

f( tanx ) 1 cos 2 x = f( t ) dt

となり,(1)式が導出される.

この方法は積分される関数(被積分関数)が, tanx の関数 f( tanx ) 1 cos 2 x の積である場合に適用できる.

■具体例

f( x )= sinx cos 3 x  ・・・(2)

という関数の積分を例に考える.(2)式を変形すると以下のようになる.

sin x cos 3 x = sin x cos x 1 cos 2 x

= tan x 1 cos 2 x  ・・・(3)

ここで, tanx=t とおき,これを微分する.

dt dx = 1 cos 2 x dt= 1 cos 2 x dx

これらを用いて(3)式を置換積分すると,

tanx 1 cos 2 x dx = tdt

t d t = 1 2 t 2 + C

= 1 2 tan 2 + C

他にも応用例があり,以下参照

1 cos 4 x dx       ここを参照

 

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終更新日: 2018年3月14日

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