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高次の三角関数の積分(3)

${\displaystyle \int f\left(tanx\right)\cdot \frac{1}{{cos}^{2}x}dx=\int f\left(t\right)dt}$　･･････(1)

■導出

${\displaystyle tanx=t}$とおく置換積分を行う．

${\displaystyle f\left(tanx\right)=f\left(t\right)}$

${\displaystyle tanx=t}$とおいたき，この式を微分すると，

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1}{{cos}^{2}x}\to dt=\frac{1}{{cos}^{2}x}dx}$

したがって，${\displaystyle f\left(tanx\right)\cdot \frac{1}{{cos}^{2}x}}$置換積分は

${\displaystyle \int f\left(tanx\right)\cdot \frac{1}{{cos}^{2}x}=\int f\left(t\right)dt}$

となり，(1)式が導出される．

この方法は積分される関数(被積分関数)が，${\displaystyle tanx}$の関数${\displaystyle f\left(tanx\right)}$と${\displaystyle \frac{1}{{cos}^{2}x}}$の積である場合に適用できる．

■具体例

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{sinx}{{cos}^{3}x}}$ 　･･････(2)

という関数の積分を例に考える．(2)式を変形すると以下のようになる．

${\displaystyle \frac{sinx}{{cos}^{3}x}}$${\displaystyle =\frac{sinx}{cosx}\cdot \frac{1}{{cos}^{2}x}}$

${\displaystyle =tanx\cdot \frac{1}{{cos}^{2}x}}$　･･････(3)

ここで，${\displaystyle tanx=t}$とおき，これを微分する．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1}{{cos}^{2}x}\to dt=\frac{1}{{cos}^{2}x}dx}$

これらを用いて(3)式を置換積分すると

${\displaystyle \int tanx\cdot \frac{1}{{cos}^{2}x}dx=\int tdt}$${\displaystyle =\frac{1}{2}{t}^2+C}$${\displaystyle =\frac{1}{2}{tan}^2+C}$

他にも応用例があり，以下参照

 

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学生スタッフ作成

終更新日： 2023年7月30日

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