重積分における変数変換

• 2重積分の変数変換

  ${\displaystyle x=x\left(u,v\right)}$ ， ${\displaystyle y=y\left(u,v\right)}$ ， ${\displaystyle \left(x,y\right)\in D}$ ， ${\displaystyle \left(u,v\right)\in D^{\prime }}$

  によって $uv$ 平面の集合 $D^{\prime }$ が $xy$ 平面の集合 ${\displaystyle D}$ に1対1に移るとすれば

  ${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\iint }_{D^{\prime }}f\left(x\left(u,v\right),y\left(u,v\right)\right)\left|J\right|dudv}}$

  の関係がある．⇒ 導出

• 3重積分の変数変換

  ${\displaystyle x=x\left(u,v,w\right)}$ ， ${\displaystyle y=y\left(u,v,w\right)}$ ， ${\displaystyle z=z\left(u,v,w\right)}$ ， ${\displaystyle \left(x,y,z\right)\in D}$ ， ${\displaystyle \left(u,v,w\right)\in D^{\prime }}$

  によって $uvw$ 空間の集合 $D^{\prime }$ が $xyz$ 空間の集合 ${\displaystyle D}$ に1対1に移るとすれば

  ${\displaystyle {\displaystyle {\iiint }_{D}f\left(x,y,z\right)dxdydz}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\iiint }_{D^{\prime }}f\left(x\left(u,v,w\right),y\left(u,v,w\right),z\left(u,v,w\right)\right)\left|J\right|dudvdw}}$

  の関係がある．

• 座標変換の関数行列式

  ${\displaystyle x=rcos\theta }$ ， ${\displaystyle y=rsin\theta }$ のとき ${\displaystyle \frac{\partial \left(x,y\right)}{\partial \left(r,\theta \right)}=r}$

  ${\displaystyle x=rcos\theta }$ ， ${\displaystyle y=rsin\theta }$ ， ${\displaystyle z=z}$ のとき ${\displaystyle \frac{\partial \left(x,y,z\right)}{\partial \left(r,\theta ,z\right)}=r}$

  ${\displaystyle x=rsin\theta cos\phi }$ ， ${\displaystyle y=rsin\theta sin\phi }$ ， ${\displaystyle z=rcos\theta }$ のとき ${\displaystyle \frac{\partial \left(x,y,z\right)}{\partial \left(r,\theta ,\phi \right)}=r^{2}sin\theta }$

• 極座標に関する2重積分

${\displaystyle x=rcos\theta }$ ， ${\displaystyle y=rsin\theta }$ ${\displaystyle \left(r\geqq 0\right)}$ によって ${\displaystyle r\theta }$ 平面の集合 $D^{\prime }$ が $xy$ 平面の集合 ${\displaystyle D}$ に1対1に移れば

${\displaystyle {\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy}$ ${\displaystyle ={\iint }_{D^{\prime }}f\left(rcos\theta ,rsin\theta \right)rdrd\theta }$

の関係がある．

• 円柱座標に関する3重積分

  ${\displaystyle x=rcos\theta }$ ， ${\displaystyle y=rsin\theta }$ ， ${\displaystyle z=z}$ ${\displaystyle \left(r\geqq \theta \right)}$ によって集合 ${\displaystyle D^{\prime }}$ の要素 ${\displaystyle \left(r,\theta ,z\right)}$ が集合 ${\displaystyle D}$ の要素 ${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$ に1対1の対応で移るとき

  ${\displaystyle {\iiint }_{D}f\left(x,y,z\right)dxdydz}$ ${\displaystyle ={\iiint }_{D^{\prime }}f\left(rcos\theta ,rsin\theta ,z\right)rdrd\theta dz}$

  の関係がある．

• 球座標に関する3重積分

${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \varphi }$ ， ${\displaystyle y=r\sin \theta \sin \varphi }$ ， ${\displaystyle z=r\cos \theta }$ ${\displaystyle \left(r\geqq 0,0\leqq \theta \leqq \pi ,0\leqq \varphi \leqq 2\pi \right)}$ によって集合 ${\displaystyle D^{\prime }}$ の要素 ${\displaystyle \left(r,\theta ,\phi \right)}$ が集合 ${\displaystyle D}$ の要素 ${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$ に1対1の対応で移るとき

${\displaystyle {\displaystyle {\iiint }_{D}f\left(x,y,z\right)dxdydz}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\iiint }_{D^{\prime }}f\left(r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta \right)r^2\sin \theta drd\theta d\varphi }}$

の関係がある．

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最終更新日： 2025年4月26日

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