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重積分における変数変換

  • 2重積分の変数変換

    x=x( u,v ),y=y( u,v ),( u,v )D'

    によってuv平面の集合 D' がxy平面の集合 D に1対1に移るとすれば

    D f( x,y )dxdy= D' f( x( u,v ),y( u,v ) ) | J |dudv

  • 3重責分の変数変換

    変数 x=x( u,v,w ),y=y( u,v,w ),z=z( u,v,w ) -(1),がuvw空間集合 D' をxyz空間の集合 D に移せば

    D f( x,y,z )dxdydz= D' f( x,y,z )| J |dudvdw

    ただし,右辺の f( x,y,z ) は(1)を代入してu,v,wの関数としたものである.
  • 座標変換の関数行列式
  • x=rcosθ,y=rsinθ のとき ( x,y ) ( r,θ ) =r

    x=rcosθ,y=rsinθ,z=z のとき ( x,y,z ) ( r,θ,z ) =r

    x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ のとき ( x,y,z ) ( r,θ,φ ) = r 2 sinθ

  • 極座標に関する2重積分
  • x=rcosθ,y=rsinθ ( r0 ) によって rθ 平面の集合 D' がxy平面の集合 D に1対1の対応で移れば

    D f( x,y ) dxdy= D' f( rcosθ,rsinθ ) rdrdθ

  • 円柱座標に関する3重積分
  • x=rcosθ,y=rsinθ,z=z,( rθ ) によって ( r,θ,z ) の働く集合 D' ( x,y,z ) の働く集合 D に1対1の対応で移るとき

    D f( x,y,z )dxdydz= D' f( rcosθ,rsinθ,z )rdrdθdz

  • 球座標に関する3重積分
  • x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ,( r0,0θπ,0φ2π ) によって ( r,θ,φ ) が働く集合 D' ( x,y,z ) の働く集合 D に1対1の対応で移るとき

    D f( x,y,z )dxdydz= D' f( rsinθcosφ,rsinθsinφ,rcosθ ) r 2 sinθdrdθdφ

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2014年9月9日

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