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体積・曲面積

体積,曲面積は重積分により求めることができる.

  • 体積の公式

    V= D f( x,y ) dxdy

  • 断面積の積分

    D:axb,φ( x )yψ( x )

    ならば,曲面 z=f( x,y )0 までの D 上の部分Sの体積 V

    V= a b S( x )dx,S( x ) = φ( x ) ψ( x ) f( x,y )dy は断面積

  • 面積・体積A(D)
  • D が平面上の集合ならば, D の面積 A( D ) D が空間の集合であれば, D の体積 A( D )

    A( D )= D dxdydz

  • 表面積
  • 曲面 z=f( x,y ) D 上の部分の表面積 S

    S= D 1+ z x 2 + z y 2 dxdy

  • 極座標による表面積
  • x=rcosθ,y=rsinθ,( r0 ) によってxy平面上の集合 D rθ 平面の集合 D' に移れば,曲面 z=f( x,y ) D 上にある部分の表面積 S

    S= D' r 2 + ( r z r ) 2 + z θ 2 drdθ

  • 回転面の表面積
  • xy平面上の曲線 y=f( x ),( axb ) がx軸のまわりに回転してできる回転面の表面積 S

    S=2π a b f( x ) 1+f' ( x ) 2 dx

 

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学生スタッフ作成
初版:2008年12月18日,最終更新日: 2013年10月24日

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