部分分数分解の一意性(2)

$P (x)$ は $m$ 次の整式とし， ${\{P (x)\}}^{n}$ と $k$ 次の整式 $G (x)$ からなる有理関数（ただし， $m n > k$ ）

$\frac{G (x)}{{\{P (x)\}}^{n}}$

は

$\frac{G (x)}{{\{P (x)\}}^{n}} = \frac{A (x)}{{\{P (x)\}}^{n}} + \frac{B (x)}{{\{P (x)\}}^{n - 1}}$

のように， ${\{P (x)\}}^{n}$ と ${\{P (x)\}}^{n - 1}$ を分母とする分数，いわゆる部分分数に一意に分解できる．

このとき，整式 $A (x)$ ， $B (x)$ の次数を $i_{A}$ ， $j_{B}$ とすると

$i_{A} < m$ ， $j_{B} < m (n - 1)$

である．

■証明

$\frac{G (x)}{{\{P (x)\}}^{n}} = \frac{A (x)}{{\{P (x)\}}^{n}} + \frac{B (x)}{{\{P (x)\}}^{n - 1}}$ 　･･････(1)

(1)を通分すると

$\frac{G (x)}{{\{P (x)\}}^{n}} = \frac{A (x) + B (x) P (x)}{{\{P (x)\}}^{n}}$ 　･･････(2)

となり

$G (x) = A (x) + B (x) P (x)$ 　･･････(3)

の関係が得られる．

と表すことができる．

(3)は $G (x)$ を $P (x)$ で割ったときの商が $B (x)$ ，余りが $A (x)$ となることを示している．

$G (x)$ の次数が $k$ ， $P (x)$ の次数が $m$ より

$A (x)$ の次数 $i_{A}$ は， $i_{A} < m$

$B (x)$ の次数 $j_{B}$ は， $j_{B} = k - m < n m - m = m (n - 1)$

(3)は一意に決まるので，(1)も一意に決まる．

最終更新日： 2025年1月6日