Σkの2乗の計算式
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k=1 n k 2 の計算式 

数列 1 2 , 2 2 , 3 2 ,, n 2 の和(和記号Σを参照)

  • k = 1 n k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2

  • = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

■公式の導出

( k+1 ) 3 k 3 =3 k 2 +3k+1 に順に k=1,2,3,,n  代入し,下のように縦にそろえて加えると,

2 3 1 3 =3· 1 2 +3·1+1 3 3 2 3 =3· 2 2 +3·2+1 4 3 3 3 =3· 3 2 +3·3+1 +) ( n+1 ) 3 n 3 =3· n 2 +3·n+1 ¯ ( n+1 ) 3 1=3 k=1 n k 2 +3 k=1 n k +n

となる.左辺の合計が非常に簡単になることに注目すること. k=1 n k = n( n+1 ) 2 ここを参照)を代入すると,

( n+1 ) 3 1 =3 k=1 n k 2 +3 n( n+1 ) 2 +n

となり,この式を整理すると,

k =1 n k 2 = 1 3 n+1 3 13 n n+1 2 n

= 1 6 2 n+1 3 23n n+1 2n

= 1 6 2 n 3 +6 n 2 +6n3n n+1 2n

= 1 6 n 2 n 2 +3n+1

= 1 6 n n+1 2n+1

となり, k=1 n k 2 が求まります.

 

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最終更新日: 2022年11月22日

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