∑
k=1 n
k 3
の計算式
数列
1
3
,
2
3
,
3
3
,⋯,
n
3
の和（和記号Σを参照）
∑ k=1 n k 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ n 3
= { n ( n+1 ) 2 } 2
■公式の証明
(
k+1
)
4
−
k
4
=4
k
3
+6
k
2
+4k+1
に順に
k=1,2,3,⋅⋅⋅,n
を代入し，以下のように縦にそろえて加えると，
上式を，
∑
k=1
n
k
3
=
1
4
{
(
n+1
)
4
−1−6
∑
k=1
n
k
2
−4
∑
k=1
n
k
−n
}
と整理し，右辺に
∑
k=1
n
k
=
1
2
n(
n+1
)
（参照），
∑
k=1
n
k
2
=
1
6
n(
n+1
)(
2n+1
)
（参照）をそれぞれ代入する．
∑
k
=
1
n
k
3
=
1
4
{
(
n
+
1
)
4
−
1
−
6
∑
k
=
1
n
k
2
−
4
∑
k
=
1
n
k
−
n
}
=
1
4
{
(
n
+
1
)
4
−
6
∑
k
=
1
n
k
2
−
4
∑
k
=
1
n
k
−
n
−
1
}
=
1
4
{
(
n
+
1
)
4
−
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
−
2
n
(
n
+
1
)
−
(
n
+
1
)
}
=
1
4
(
n
+
1
)
{
(
n
+
1
)
3
−
n
(
2
n
+
1
)
−
2
n
−
1
}
=
1
4
(
n
+
1
)
{
(
n
3
+
3
n
2
+
3
n
+
1
)
−
(
2
n
2
+
n
)
−
2
n
−
1
}
=
1
4
(
n
+
1
)
{
n
3
+
(
3
−
2
)
n
2
+
(
3
−
1
−
2
)
n
+
(
1
−
1
)
}
=
1
4
(
n
+
1
)
(
n
3
+
n
2
)
=
1
4
(
n
4
+
n
3
+
n
3
+
n
2
)
=
1
4
(
n
4
+
2
n
3
+
n
2
)
=
1
4
n
2
(
n
2
+
2
n
+
1
)
=
{
1
2
n
(
n
+
1
)
}
2
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最終更新日：
2022年11月22日
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