点が線分上にあるための条件

異なる2点 ${\displaystyle \text{Q}\left(\overrightarrow{q}\right)}$ ， ${\displaystyle \text{R}\left(\overrightarrow{r}\right)}$ を両端とする線分$\text{QR}$ 上に点 ${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$ があるための条件は

${\displaystyle \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$ ， ${\displaystyle s+t=1}$，${\displaystyle s\geqq 0}$，${\displaystyle t\geqq 0}$

である．

（点 $\text{P}$ の位置ベクトルが ${\displaystyle \overrightarrow{p}}$ ，点 $\text{Q}$ の位置ベクトルが ${\displaystyle \overrightarrow{q}}$ ，点 $\text{R}$ の位置ベクトルが ${\displaystyle \overrightarrow{r}}$ である．）

${\displaystyle t=0}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{q}}$ となり，点 $\text{P}$ は点 $\text{Q}$ 上にある．

${\displaystyle s=0}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{r}}$ となり，点 $\text{P}$ は点 $\text{R}$ 上にある．

■導出

$\overrightarrow{p}$ を $\overrightarrow{q}$ ， $\overrightarrow{r}$ を用いて表すと

${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{q}+t\left(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{q}\right)}$ （${\displaystyle 0\leqq t\leqq 1}$ ）

となる．これより

${\displaystyle \overrightarrow{p}=\left(1-t\right)\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r}}$

となる．

${\displaystyle 1-t=s}$ とおくと，${\displaystyle 0\leqq t\leqq 1}$ より，${\displaystyle 0\leqq s\leqq 1}$となる．以上をまとめると

${\displaystyle \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$ ， ${\displaystyle s+t=1}$，${\displaystyle s\geqq 0}$，${\displaystyle t\geqq 0}$

となる．

　

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最終更新日 2025年11月5日