点が平行四辺形上にあるための条件

平行四辺形 $\text{OQUR}$ 上に点 ${\displaystyle \text{P}}$ があるための条件は， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}=\overrightarrow{p}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OQ}}=\overrightarrow{q}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OR}}=\overrightarrow{r}}$ とすると

${\displaystyle \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$ ， ${\displaystyle 0\leqq s\leqq 1}$ ， ${\displaystyle 0\leqq t\leqq 1}$

である．

■導出

平行四辺形 $\text{OQUR}$ 上の点を $\text{P}$ とすると，ベクトルの和の性質より

${\displaystyle \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$ ， ${\displaystyle 0\leqq s\leqq 1}$ ， ${\displaystyle 0\leqq t\leqq 1}$

となる．

• ${\displaystyle s=0}$ の時

  ${\displaystyle \overrightarrow{p}=t\overrightarrow{r}}$ ， ${\displaystyle 0\leqq t\leqq 1}$ となり，点 $\text{P}$ は線分 $\text{OR}$ 上にある．

• ${\displaystyle t=0}$ の時

  ${\displaystyle \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{q}}$ ， ${\displaystyle 0\leqq s\leqq 1}$ となり，点 $\text{P}$ は線分 $\text{OQ}$ 上にある．

• ${\displaystyle s=1}$の時

  ${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$ ，${\displaystyle 0\leqq t\leqq 1}$ となり，点$\text{P}$は線分$\text{QU}$上にある．

• ${\displaystyle t=1}$の時

  ${\displaystyle \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r}}$ ，${\displaystyle 0\leqq s\leqq 1}$ となり，点$\text{P}$は線分$\text{RU}$上にある．

　

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最終更新日 2025年11月7日