演習問題

風のない空気中を質量 ${\displaystyle m\left[\text{kg}\right]}$ の雨滴が落下している．鉛直下向きを ${\displaystyle x}$ 軸正の向きとすると，雨滴は，速さ ${\displaystyle v\left[\text{m/s}\right]}$ に比例する大きさ ${\displaystyle mkv\left[\text{N}\right]}$ の抵抗力を，${\displaystyle x}$ 軸負の向きに受けながら落下している．雨滴の初速度を ${\displaystyle 0\text{m/s}}$ ，重力加速度の大きさを ${\displaystyle g[{\text{m/s}}^2]}$ として，以下の設問に答えよ．

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=2}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=x}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=3y}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\mathrm{-}2y}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{y}}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1+y}{1+x}}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=2y+3}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=3x^{2}y}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=4x^2}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=3x+1}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=5x^3-7x^2-x+5}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=xy}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\sin x}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\cos x}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=4\sin 5x}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=6\cos 2x}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=2e^{3x}}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{\cos x}{\sin y}}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1+e^x}{e^{x-y}}}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \left({\tan }^{-1}y\right)y^{\prime }=\frac{\sqrt{2-x^2}}{x^2-2}}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{2}dx-x^{3}dy=0}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \sqrt{x-1}{y}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{y}}}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{x{y}^3+x{y}^2}{x^{3}y-xy}}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$y^{\prime }={sin}^{2}x\sin y\cos x$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{e^y}{e^x}}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \left(y^2+\sin y\right)y^{\prime }+\cos x+x^3=0}$

次の微分方程式を(　)内の初期条件で解け

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2xy}}$

(${\displaystyle x=1}$,${\displaystyle y=1}$ )

次の微分方程式を(　)内の初期条件で解け

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=e^{2x}{e}^{3y}}$      （${\displaystyle x=0}$,${\displaystyle y=0}$）

次の微分方程式を(　)内の初期条件で解け

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\sin x{cos}^{2}y}$      (${\displaystyle x=0}$,${\displaystyle y=\frac{\pi }{4}}$)

次の微分方程式を(　)内の初期条件で解け

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1+y^2}{\sqrt{1-x^2}}}$      (${\displaystyle y=\sqrt{3}}$,${\displaystyle x=\frac{1}{2}}$)