演習問題

次の微分方程式は完全微分方程式であることを確かめて，これを解け

${\displaystyle 2ydx+\left(2x+1\right)dy=0}$

次の微分方程式は完全微分方程式であることを確かめて，これを解け

${\displaystyle \left(y^2+2xy+1\right)dx}$${\displaystyle +\left(x^2+2xy+y\right)dy}$${\displaystyle =0}$

次の微分方程式は完全微分方程式であることを確かめて，これを解け

${\displaystyle \left(y{e}^x-y^2\sin x\right)dx}$${\displaystyle +\left(e^x+2y\cos x\right)dy}$${\displaystyle =0}$

次の微分方程式は完全微分方程式であることを確かめて，これを解け

${\displaystyle \left(\frac{y}{x}+\log y\right)dx}$${\displaystyle +\left(\frac{x}{y}+\log x\right)dy}$${\displaystyle =0}$

次の完全微分方程式を（　）内の初期条件のもとで解け

${\displaystyle \left(3x^{2}y+x\right)dx+\left(x^3+2y\right)dy=0}$

(${\displaystyle x=1}$, ${\displaystyle y=0}$)

次の完全微分方程式を（　）内の初期条件のもとで解け

${\displaystyle \left(\frac{1}{y}+2x\right)dx+\left(-2y-\frac{x}{y^2}\right)dy=0}$

(${\displaystyle x=2}$, ${\displaystyle y=2}$)

次の完全微分方程式を（　）内の初期条件のもとで解け

${\displaystyle \left(e^x\sin y\right)dx+\left(e^x\cos y+\sin y\right)dy=0}$

(${\displaystyle x=0}$, ${\displaystyle y=\frac{\pi }{2}}$)

積分因子を求めて，次の微分方程式を解け

${\displaystyle xydx-x\left(y-x\right)dy=0}$