演習問題

${\displaystyle z}$ に関する方程式

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}=c^2\left(\frac{{\partial }^{2}z}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial z}{\partial r}\right)}$

において， ${\displaystyle z=\frac{1}{r}u}$ とおき， ${\displaystyle u}$ に関する方程式に変換すると

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial r^2}}$

となることを示せ．

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ について ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ を求めよ．

${\displaystyle 3x^2+2xy+y^2=1}$

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ について ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ を求めよ．

${\displaystyle y^2=4px}$

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ について ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ を求めよ．

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ について ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ を求めよ．

${\displaystyle y=e^{x+y}}$

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ について ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ を求めよ．

${\displaystyle log\sqrt{x^2+y^2}-{tan}^{-1}\frac{y}{x}=0}$

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ について ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ を求めよ．

${\displaystyle x^3+y^3-3axy=0}$

関係 ${\displaystyle f\left(x,y\right)=0}$ で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ の点 ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ での接線の方程式を求めよ．

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ の点 ${\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}$ における接線の方程式を求めよ．

${\displaystyle x^3+y^3-xy=0}$