演習問題

三角形 $\text{ABC}$ の各頂点 $\text{A}$ ， $\text{B}$ ， $\text{C}$ と各対辺の中点のを結ぶ3つの線分(中線)は1点で交わることを示せ．

⇒ 解答

点 $\text{OAB}$ において，線分 $\text{OA}$ を $2:1$ に内分する点を点 $\text{C}$ ， $\text{OB}$ を $4:1$ に外分する点を点 $\text{D}$ ， $\text{OB}$ を $1:2$ に内分する点を点 $\text{Ｅ}$ とする．線分 $\text{AE}$ と線分 $\text{CD}$ の交点を点 $\text{P}$ とする． ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OA}}=\overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{b}}$ とおくとき， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}}$ を ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を用いて表せ．

⇒ 解答

三角形 $\text{ABC}$ の頂点 $\text{A}$ ， $\text{B}$ ， $\text{C}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ とする． この三角形 $\text{ABC}$ の重心 $\text{G}$ の位置を ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ を用いて表せ．

⇒ 解答

三角形 $\text{ABC}$ の辺 $\text{BC}$ の中点を $\text{M}$ とすると

${\text{AB}}^{\text{2}}+{\text{AC}}^{\text{2}}=2\left({\text{AM}}^{\text{2}}+{\text{BM}}^{\text{2}}\right)$

が成り立つ(中線定理)ことを，ベクトルを用いて証明せよ． ⇒ 解答