演習問題

図のように，質量 ${\displaystyle m}$ の人が，静止した質量 ${\displaystyle M}$ のエレベータの中に立っていた．時刻 ${\displaystyle t_0}$ からこのエレベータはロープから鉛直上向きで大きさ ${\displaystyle T}$ の張力を受けて，時刻 ${\displaystyle t_1}$ まで鉛直上向きに等加速度直線運動をした．時刻 ${\displaystyle t_1}$ からエレベータは時刻 ${\displaystyle t_1}$ での速度のまま 等速直線運動をはじめた．ここで，重力加速度の大きさを ${\displaystyle g}$ とし，空気抵抗は無視できるものとする．

右図のように， ${\displaystyle x}$ 軸に沿って直線運動する質量 ${\displaystyle m\left[\text{kg}\right]}$ の物体に，物体の速度 ${\displaystyle v\left[\text{m/s}\right]}$ に比例する粘性抵抗力 ${\displaystyle f=-bv\left[\text{N}\right]}$ ( ${\displaystyle b\left[\text{kg/s}\right]}$ ：正定数）のみが作用する場合について，以下の問に答えよ．

右図のように， ${\displaystyle x}$ 軸の正の向きに沿って直線運動する質量 ${\displaystyle m\left[\text{kg}\right]}$ の物体に，物体の速度 ${\displaystyle v\left[\text{m/s}\right]}$ の${\displaystyle 2}$ 乗に比例する慣性抵抗力 ${\displaystyle f=-b{v}^2\left[\text{N}\right]}$ （ ${\displaystyle b\left[\text{kg/s}\right]}$ ：正定数）のみが作用する場合について，以下の問に答えよ．

図のように，質量 ${\displaystyle m\left[\text{kg}\right]}$ の小球を,地上の原点Oから高さ ${\displaystyle h\left[\text{m}\right]}$ の位置から,鉛直上向きに速さ ${\displaystyle v_0\left[\text{m/s}\right]}$ で投げ上げた.ここで,鉛直上向きを ${\displaystyle y}$ 軸の正の向きとする.ただし，重力加速度の大きさを ${\displaystyle g[{\text{m/s}}^2]}$ として，空気抵抗は無視する．

図のように，質量 ${\displaystyle m\left[\text{kg}\right]}$ の小球を，地上から高さ ${\displaystyle h\left[\text{m}\right]}$ のところから，水平面から角度${\displaystyle \theta }$ の方向に，速さ ${\displaystyle v_0\left[\text{m/s}\right]}$ で斜方投射した．ただし，重力加速度の大きさを ${\displaystyle g[{\text{m/s}}^2]}$ として，空気抵抗は無視する．

時刻 ${\displaystyle t=0}$ で質量 ${\displaystyle m_1}$ の物体 ${\displaystyle 1}$ を水平に対して角度 ${\displaystyle \theta }$ の方向に初速度 ${\displaystyle v_0}$ で投げる（斜方投射）． 投げた地点を原点とし水平方向を ${\displaystyle x}$ 軸，鉛直上向きを ${\displaystyle y}$ 軸とする．また，原点から ${\displaystyle x}$ 方向へ距離 ${\displaystyle l}$ ，高さ ${\displaystyle h}$ の所から時刻 ${\displaystyle t=0}$ で質量 ${\displaystyle m_2}$ の物体 ${\displaystyle 2}$ を初速度 ${\displaystyle 0}$ で自由落下させる．物体 ${\displaystyle 1}$ の ${\displaystyle x}$ 座標および ${\displaystyle y}$ 座標はそれぞれ ${\displaystyle x_1}$ ， ${\displaystyle y_1}$ ，物体 ${\displaystyle 2}$ の ${\displaystyle y}$ 座標は ${\displaystyle y_2}$ とする．空気抵抗は無視できるものとし，重力加速度を ${\displaystyle g}$ とする．

地上から ${\displaystyle 3.0\text{m}}$ の高さの位置から，質量 ${\displaystyle m〔\text{kg}〕}$ の羽と質量 ${\displaystyle 100m〔\text{kg}〕}$ の鉄球を同時に落下させた．空気抵抗を無視するとき，次の問いに答えよ．

風のない空気中を質量 ${\displaystyle m\left[\text{kg}\right]}$ の雨滴が落下している．鉛直下向きを ${\displaystyle x}$ 軸正の向きとすると，雨滴は，速さ ${\displaystyle v\left[\text{m/s}\right]}$ に比例する大きさ ${\displaystyle mkv\left[\text{N}\right]}$ の抵抗力を，${\displaystyle x}$ 軸負の向きに受けながら落下している．雨滴の初速度を ${\displaystyle 0\text{m/s}}$ ，重力加速度の大きさを ${\displaystyle g[{\text{m/s}}^2]}$ として，以下の設問に答えよ．

図のように，長さ ${\displaystyle L}$ の伸縮しない軽い糸に質量 ${\displaystyle m}$ の小球をつけて，振幅の小さな振動をさせる．重力加速度の大きさを ${\displaystyle g}$ とすると，小球が鉛直線から角 ${\displaystyle \theta }$ だけずれたとき，小球に作用する力の軌道の接線方向成分は

${\displaystyle F=-mg\sin \theta }$

である．このとき，原点Oからの小球の移動距離（弧の長さ）は ${\displaystyle s=L\theta }$ であるので，小球の加速度の接線方向成分は

${\displaystyle a=\frac{d^{2}s}{d{t}^2}=\frac{d^2(L\theta )}{d{t}^2}=L\frac{d^2\theta }{d{t}^2}}$

と表せる．以下の問に答えよ．

ある球（質量 ${\displaystyle M\left[\text{kg}\right]}$ ，半径 ${\displaystyle R\left[\text{m}\right]}$，慣性モーメント${\displaystyle I\left[\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\right]}$ ）が，水平からなす角 ${\displaystyle 30°}$ の斜面の上を転がりながら落下した（図1）．球がざらざらした斜面から受ける摩擦力を ${\displaystyle F\left[\text{N}\right]}$ ，垂直抗力を ${\displaystyle N\left[\text{N}\right]}$ ，球の重心の加速度を ${\displaystyle A\left[{\text{m/s}}^2\right]}$ ，回転の角加速度を ${\displaystyle \alpha \left[{\text{rad/s}}^2\right]}$ ，重力加速度の大きさを ${\displaystyle g\left[{\text{m/s}}^2\right]}$ とする．