演習問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y\text{'}\text{'}+3y\text{'}+2y=0}$　　(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=1}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=0}$ )

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+2y^{\prime }+y=0}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=0}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=2}$)

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-5y^{\prime }+6y=0}$ 　　　(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=1}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=0}$)

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-2y^{\prime }+y=0}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=2}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=3}$)

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-10y^{\prime }+29y=0}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=-1}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=0}$)

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-5y^{\prime }+4y=0}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=0}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=-1}$)

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+2y^{\prime }=0}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=1}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=-2}$)

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+y^{\prime }+y=0}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=0}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=1}$)

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+3y=0}$　　(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=1}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=3}$ )

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-10y^{\prime }+25y=0}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=\frac{1}{2}}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=3}$)

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-y^{\prime }-2y=4t^2}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=1}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=-1}$)

${\displaystyle f\left(t\right)=tcos\left(\omega t\right)}$  を，裏関数の微分を用いて，ラプラス変換すると  ${\displaystyle \mathcal{L}\left\{tcos\left(\omega t\right)\right\}=\frac{s^2-{\omega }^2}{{\left(s^2+{\omega }^2\right)}^2}}$  となることを示せ．

推移則を用いて， ${\displaystyle f\left(t\right)=e^{-at}sin\left(\omega t\right)}$  をラプラス変換せよ．