演習問題

次の2重積分を求めよ．その際領域${\displaystyle D}$ の図を描くこと．

${\displaystyle {\iint }_D{y}^{2}dxdy}$　　${\displaystyle \left(D:x^2+y^2\leqq 9,x\geqq 0\right)}$

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_D\left(x^2-y^2\right)}\left(x+y\right)dxdy}$　　${\displaystyle \left(D:0\leqq x+y\leqq 2,-1\leqq x-y\leqq 2\right)}$

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_D\frac{x-y}{1+x+y}}dxdy}$　　${\displaystyle \left(D:0\leqq x+y\leqq 1,0\leqq x-y\leqq 1\right)}$

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_{D}64xydxdy}}$　　${\displaystyle \left(D:1\leqq x+y\leqq 2,-2\leqq x-3y\leqq 0\right)}$

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_D\left(x^2+y^2\right)e^{-x-y}}dxdy}$　　${\displaystyle (D:-2<x+y<2,-2<x-y<2)}$

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_D\left(x^3+y^3\right)}dxdy}$ 　　 ${\displaystyle \left(D:0\leqq x+y\leqq 1,-1\leqq x-2y\leqq 2\right)}$

次の変数変換の場合のヤコビアン ${\displaystyle J\left(u,v\right)}$を計算せよ．

${\displaystyle x=6u-7v}$，${\displaystyle y=3u+5v}$