演習問題

行列 ${\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}a\hfill & b\hfill \\ c\hfill & d\hfill \end{array}\right)}$ が ${\displaystyle A^2-4A+3E=O}$ を満たすとき， ${\displaystyle a+d}$ , ${\displaystyle ad-bc}$ の値を求めよ．

２次正方行列${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}$ に対して，${\displaystyle T\left(A\right)=a+d}$ ，${\displaystyle \Delta \left(A\right)=ad-bc}$ とおく．

・ ${\displaystyle T\left(A^2\right)}$ を${\displaystyle T\left(A\right)}$ と${\displaystyle \Delta \left(A\right)}$ を用いて表わせ．

・${\displaystyle A}$ が ${\displaystyle \Delta \left(A\right)=1}$ かつ${\displaystyle A^4=E}$ を満たすとする．

(1)${\displaystyle T\left(A\right)}$ の値をすべて求めよ．

(2)${\displaystyle T\left(A\right)\ne 0}$ となる${\displaystyle A}$ をすべて求めよ．

以下の行列の成分は実数とする．

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right)}$ とし，${\displaystyle X=AB}$ ，${\displaystyle Y=BA}$ ，${\displaystyle X^2=\mathrm{O}}$ とする．

(1) ${\displaystyle X}$ と${\displaystyle Y}$ はいずれも逆行列をもたないことを示せ．

(2) ${\displaystyle Y^2=\mathrm{O}}$ であることを示せ．