演習問題

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ -2& 1\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}2& y\\ -1& x\end{array}\right)}$で，${\displaystyle \left|B\right|=2}$ ，${\displaystyle \left|AB\right|=4}$ である．${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle y}$ を求めよ．

以下の行列の成分は実数とする．

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right)}$ とし，${\displaystyle X=AB}$ ，${\displaystyle Y=BA}$ ，${\displaystyle X^2=\mathrm{O}}$ とする．

(1) ${\displaystyle X}$ と${\displaystyle Y}$ はいずれも逆行列をもたないことを示せ．

(2) ${\displaystyle Y^2=\mathrm{O}}$ であることを示せ．