演習問題

傾きが $2$ ， $y$ 切片が $5$ である直線の方程式を求め，グラフをかけ．

点 ${\displaystyle \left(2,3\right)}$ を通り，傾きが ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ である直線の方程式を求め，グラフをかけ．

2点 ${\displaystyle \left(2,3\right)}$ と ${\displaystyle \left(5,9\right)}$ を通る直線の方程式を求め，グラフをかけ．

$x$ 切片が $5$ ， $y$ 切片が $3$ の直線の方程式を求め，グラフをかけ．

点 ${\displaystyle \left(3,2\right)}$ と直線 ${\displaystyle \left(x,y\right)=t\left(1,2\right)+\left(0,1\right)}$ の距離を求めよ． $t$ は媒介変数である．

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(2,3\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(4t+3,2t-1\right)}$ とする．

1. $t$ が ${\displaystyle -\infty }$ から ${\displaystyle +\infty }$ に変化したとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点の軌跡は直線を描く．どのような直線か答よ．
2. ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が平行な関係になるときの $t$ の値を求めよ．
3. ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が垂直な関係になるときの $t$ の値を求めよ

２つの直線 ${\displaystyle y=m_{1}x+n_1}$ と ${\displaystyle y=m_{2}x+n_2}$ （ $m_1$ ， $n_1$ ， $m_2$ ， $n_2$ は定数）が直交するとき， $m_1$ ， $m_2$ の間にどのような関係があるか，方向ベクトルを用いて求めよ．

$\alpha =1+2i$ ， $\beta =4+3i$ とする． 複素平面において，点 $\alpha$ と点 ${\displaystyle \beta }$ の2点を通る直線の方程式の一般形（ ${\displaystyle \overline{\gamma }z+\gamma \overline{z}+c=0}$ ， $\gamma$ は複素数， $c$ は実数）を求めよ．

座標平面において，点$\text{Q}$と点$\text{R}$があり， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OQ}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{q}=\left(1,2\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OR}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{r}=\left(4,3\right)}$ とする．ベクトル方程式が， ${\displaystyle \overrightarrow{p}=2s\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$ ，ただし， ${\displaystyle s+t=1}$ のとき，${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{\text{OP}}}$ とすると点 ${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$ はどのような曲線(直線を含む)上にあるか答えよ．

座標平面において，点 $\text{Q}$ と点 $\text{R}$ があり， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OQ}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{q}=\left(-1,4\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OR}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{r}=\left(2,-1\right)}$ とする．以下に示す条件を満たす点 ${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$ の範囲を求めよ．ただし，${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{\text{OP}}}$ とする．

${\displaystyle \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$ ， ${\displaystyle s+t=\frac{1}{2}}$ ， ${\displaystyle s\geqq 0}$ ， ${\displaystyle t\geqq 0}$

放物線 ${\displaystyle y=-2x^2+4x+7}$ と直線 ${\displaystyle y=2x-5}$ の交点を求めよ．