演習問題

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(1,3\right)}$ をベクトルの始点を中心として反時計回りに60°回転したベクトルを求めよ．

平面ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(1,2\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(3,1\right)}$ のなす角を求めよ．

平面ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(5,0\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(-1,\sqrt{3}\right)}$ のなす角を求めよ．

${\displaystyle \overrightarrow{a}=(-4,3)}$に垂直な単位ベクトルを求めよ．

２つの直線 ${\displaystyle y=m_{1}x+n_1}$ と ${\displaystyle y=m_{2}x+n_2}$ （ $m_1$ ， $n_1$ ， $m_2$ ， $n_2$ は定数）が直交するとき， $m_1$ ， $m_2$ の間にどのような関係があるか，方向ベクトルを用いて求めよ．

空間ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(4,1,1)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=(1,4,1)}$ のなす角を求めよ．

空間ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(1,1,\sqrt{2})}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{b}=(1,2,\sqrt{3})}$ のなす角を ${\displaystyle \theta }$ するとき，${\displaystyle cos\theta }$求めよ．

${\displaystyle 3}$ 点 ${\displaystyle \text{A}\left(3,1,0\right)}$ ， ${\displaystyle \text{B}\left(2,0,1\right)}$ ， ${\displaystyle \text{C}\left(0,1,1\right)}$ がある．以下の問に答えよ．

(1) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求めよ．

(2) ${\displaystyle \angle \text{BAC}=\theta }$ とする． ${\displaystyle \cos \theta }$ の値を求めよ．

(3) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ に平行で大きさが ${\displaystyle 1}$ のベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ を求めよ．

(4) ${\displaystyle 2}$ 点 ${\displaystyle \text{A}}$ ， ${\displaystyle \text{B}}$ を通る直線の方程式を求めよ．

(5) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求めよ．

(6) ${\displaystyle 3}$ 点 ${\displaystyle \text{A}}$ ， ${\displaystyle \text{B}}$ ， ${\displaystyle \text{C}}$ を通る平面の方程式を求めよ．

(7) ${\displaystyle △\text{ABC}}$ の面積を求めよ．