概念問題 解答

線形代数　行列

問題10の解答

点 $\text{A}$ ， 点 $\text{B}$ の座標をそれぞれ ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)}$ ， ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)}$ とする．

平面の方程式は

${\displaystyle y+z=0}$

と書きかえることができる．よって，この平面の法線ベクトルは

${\displaystyle \overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)}$

となる．

点 $\text{A}$ と点 $\text{B}$ が平面 ${\displaystyle z=y}$ に関して対称であることより

1. ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}=k\overrightarrow{n}}$　 ${\displaystyle k}$ は定数．よって

   ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }-x\\ y^{\prime }-y\\ z^{\prime }-z\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)}$　･･････(1)

2. 点 $\text{A}$ と点 $\text{B}$ の中点が平面 ${\displaystyle z=-y}$ 上にある．よって

   ${\displaystyle \frac{z^{\prime }+z}{2}=-\frac{y^{\prime }+y}{2}}$　･･････(2)

(1)より

${\displaystyle x^{\prime }-x=0}$，${\displaystyle x^{\prime }=x}$　･･････(3)

${\displaystyle y^{\prime }-y=k}$ ，${\displaystyle y^{\prime }=y+k}$　･･････(4)

${\displaystyle z^{\prime }-z=k}$ ，${\displaystyle z^{\prime }=z+k}$　･･････(5)

(2)に(4)，(5)を代入する．

${\displaystyle \frac{z+k+z}{2}=-\frac{y+k+y}{2}}$ ， ${\displaystyle z+\frac{k}{2}=-y-\frac{k}{2}}$ ， ${\displaystyle k=-y-z}$　･･････(6)

(6)を(4)に代入する．

${\displaystyle y^{\prime }=y-z-y}$ ， ${\displaystyle y^{\prime }=-z}$　･･････(7)

(6)を(5)に代入する．

${\displaystyle z^{\prime }=z-z-y}$ ， ${\displaystyle z^{\prime }=-y}$　･･････(8)

(3)，(7)，(8)より

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ -z\\ -y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\cdot x+0\cdot y+0\cdot z\\ 0\cdot x+0\cdot y-1\cdot z\\ 0\cdot x-1\cdot y+0\cdot z\end{array}\right)}$ ${\displaystyle {\displaystyle =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)}}$

となる．よって，表現行列は

${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& -1& 0\end{array}\right)}$

である．

したがって，答は5である．