概念問題 解答

線形代数　行列

問題14の解答

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OA}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OB}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{O}{\text{A}}^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\end{array}\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{O}{\text{B}}^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\end{array}\right)}$

表現行列を ${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)}$ とすると

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}-4\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)}$ 　･･････(1)

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)}$ 　･･････(2)

の関係がある．

(1)より

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}-4\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2a+c\\ 2b+d\end{array}\right)}$ 　･･････(3)

(2)より

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2a+2c\\ 2b+2d\end{array}\right)}$ ， ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}-3\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a+c\\ b+d\end{array}\right)}$ ･･････(4)

(3)，(4)より

${\displaystyle 2a+c=-4}$　･･････(5)

${\displaystyle 2b+d=-5}$　･･････(6)

${\displaystyle a+c=-3}$　･･････(7)

${\displaystyle b+d=-3}$　･･････(8)

となる．

(5)－(7)より

${\displaystyle a=-1}$　･･････(9)

(7)に(9)を代入する．

${\displaystyle -1+c=-3}$ ， ${\displaystyle c=-2}$　･･････(10)

(6)－(8)より

${\displaystyle b=-2}$　･･････(11)

(8)に(11)を代入する．

${\displaystyle -2+d=-3}$ ， ${\displaystyle d=-1}$　･･････(12)

(9)，(10)，(11)，(12)より，表現行列は

${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ -2& -1\end{array}\right)}$

となる．

したがって，答は3である．