概念問題 解答

線形代数　行列

問題8の解答

対称移動によって基本ベクトルの移動がどうなるかを調べる．

$(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ ， $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ ， $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})$

よって，表現行列は

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix})$

となる．

したがって，答は3である．

●別解

点 $A$ ，点 $B$ の座標をそれぞれ $(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})$ ， $(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{matrix})$ とする．

点 $A$ と点 $B$ が $x$ - $y$ 平面に関して対称であることより

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ y \\ - z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z \\ 0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z \\ 0 \cdot x + 0 \cdot y - 1 \cdot z \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})$