概念問題 解答

線形代数　部分空間

問題6の解答

$a = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix})$ ， $b = (\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{matrix})$ とする．

$a$ ， $b$ が平面 $α x + β y + γ z = d$ ( $d \neq 0$ ) 上にあることより

$α a_{x} + β a_{y} + γ a_{z} = d$ 　･･････(1)

$α b_{x} + β b_{y} + γ b_{z} = d$ 　･･････(2)

の関係が成り立つ．

$a + b = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{x} + b_{x} \\ a_{y} + b_{y} \\ a_{z} + b_{z} \end{matrix})$ が平面上にあるか調べる．

$α (a_{x} + b_{x}) + β (a_{y} + b_{y}) + γ (a_{z} + b_{z})$

$= (α a_{x} + β a_{y} + γ a_{z}) + (α b_{x} + β b_{y} + γ b_{z})$

(1)，(2)より

$= 2 d$

したがって， $a + b$ は平面上にない．

$c a = c (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} c a_{x} \\ c a_{y} \\ c a_{z} \end{matrix})$ が平面上にあるか調べる．

$α (c a_{x}) + β (c a_{y}) + γ (c a_{z})$

$= (α a_{x} + β a_{y} + γ a_{z}) + (α b_{x} + β b_{y} + γ b_{z})$

(1)より

$= c d$

したがって， $c = 1$ 以外では $c a$ は平面上にない．このようば場合は通常 $c a$ は平面上にないと考える．

以上より，正解は4である．

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線形代数 部分空間

問題6の解答

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