概念問題 解答

線形代数　部分空間

$W = \{(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})| x < 0, y > 0\} \subset R^{3}$

$a = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}) \in W$ ， $b = (\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{matrix}) \in W$ ， $c \in R$

( $a_{x} < 0, a_{y} > 0$ 　･･････(1) ， $b_{x} < 0, b_{y} > 0$ 　･･････(2))

とする．

$a + b = (\begin{matrix} a_{x} + b_{x} \\ a_{y} + b_{y} \\ a_{z} + b_{z} \end{matrix})$

(1)，(2)より

$a_{x} + b_{x} < 0$ 　･･････(3)

$a_{y} + b_{y} > 0$ 　･･････(4)

(3)，(4)より

$a + b \in W$

すなわち， $a + b$ は和で閉じている．

$c a = (\begin{matrix} c a_{x} \\ c a_{y} \\ c a_{z} \end{matrix})$

$c < 0$ のとき，(1)より

$c a_{x} > 0$ 　･････（5）

となる．したがって，(5)より

$c a \notin W$

すなわち， $c a$ はスカラー倍で閉じていない．

以上より，正解は3である．