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梁の曲率と曲げモーメントの関係

ヤング率が${\displaystyle E}$ ，断面2次モーメントが ${\displaystyle I}$ である梁において，梁の曲率${\displaystyle \frac{d^{2}Y}{d{x}^2}}$ と曲げモーメント ${\displaystyle M}$ との間には

${\displaystyle M=EI\frac{d^{2}Y}{d{x}^2}}$

で表される関係が成り立つ．

■導出

梁がたわみ，梁の中心線が${\displaystyle Y=Y\left(x\right)}$ という関数で表されるとき${\displaystyle Y\left(x\right)}$ と曲率半径${\displaystyle R}$ との間には　⇒ここを参照

梁が下に凸に変形した場合

${\displaystyle \frac{1}{R}=\frac{d^{2}Y}{d{x}^2}}$　･･････(1)

上に凸に変形した場合

${\displaystyle \frac{1}{R}=-\frac{d^{2}Y}{d{x}^2}}$　･･････(2)

で表される．

ヤング率が${\displaystyle E}$ ，断面2次モーメントが${\displaystyle I}$ である梁において，梁の曲率半径が${\displaystyle R}$ のとき曲げモーメントは

${\displaystyle M=\frac{EI}{R}}$ 　･･････(3)　⇒ここを参照

(1)，(2)を(3)にそのまま代入すると

梁が下に凸にたわむ ${\displaystyle \left(\frac{d^{2}Y}{d{x}^2}>0\right)}$ 場合

${\displaystyle M=EI\frac{d^{2}Y}{d{x}^2}>0}$ 　･･････(4)　

梁が上に凸にたわむ${\displaystyle \left(\frac{d^{2}Y}{d{x}^2}<0\right)}$ 場合

${\displaystyle M=-EI\frac{d^{2}Y}{d{x}^2}>0}$ 　･･････(5)　

となる．曲げモーメント${\displaystyle M}$ は下に凸にたわんでいる場合は${\displaystyle M>0}$，上に凸にたわんでいる場合は${\displaystyle M<0}$ と定義されているので，(5)ではたわみ曲線の微分方程式の符号が逆になる．${\displaystyle M}$ の符号をあわせるために，(5)の右辺に-1を掛けること，(4)と一致する．よって，梁が上に凸にたわむ場合も下に凸にたわむ場合も

${\displaystyle M=EI\frac{d^{2}Y}{d{x}^2}}$ 　

となる．

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最終更新日2017年5月30日

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