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曲げモーメントの計算

梁が図のように曲がったとき，灰色で示した梁の微少部分の右側断面に生じる曲げモーメント${\displaystyle M}$ の値は，梁の曲率半径を ${\displaystyle R}$ ，断面2次モーメントを ${\displaystyle I}$とすると

${\displaystyle M=\frac{EI}{R}}$

で表される．

■導出

梁が曲がったときの応力分布は下の図のようになり，応力の値は

${\displaystyle {\sigma }_x=-\frac{E}{R}y}$

となる．曲げモーメントの値は${\displaystyle z}$ 軸の回りの応力${\displaystyle {\sigma }_x}$ による力のモーメントの総和になるので

${\displaystyle M=-{\displaystyle \underset{A}{\iint }y{\sigma }_{x}dydz}}$ ${\displaystyle =-{\displaystyle \underset{A}{\iint }y\left(-\frac{E}{R}y\right)dydz}}$ ${\displaystyle =\frac{E}{R}{\displaystyle \underset{A}{\iint }{y}^{2}dydz}}$

ここで，${\displaystyle {\displaystyle \underset{A}{\iint }{y}^{2}dydz}}$ は断面2次モーメント ${\displaystyle I}$ のことなので

${\displaystyle M=\frac{EI}{R}}$

となる．

　

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最終更新日2018年2月4日

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