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梁が曲がったときの歪と応力

梁が図のように曲がったとき，中立面から ${\displaystyle y}$ の位置の層の梁の長さ方向の歪 ${\displaystyle {\epsilon }_x}$ は

${\displaystyle {\epsilon }_x=-\frac{y}{R}}$

応力${\displaystyle {\sigma }_x}$ は

${\displaystyle {\sigma }_x=-\frac{E}{R}y}$

と表される．

■導出

梁に正の曲げモーメントが働いたとき，梁は下に凸に曲がる．梁の微少な長さ${\displaystyle ds}$ の右側断面に生じる応力を考える．図のように中立面の梁の長さ方向に${\displaystyle x}$ 軸をとり，曲がった梁の曲率半径の中心方向に${\displaystyle y}$軸をとる．中立面に平行で${\displaystyle y}$軸の値が${\displaystyle y}$ である梁の微少な長さ ${\displaystyle ds}$は梁が曲がることにより${\displaystyle d{s}^{\prime }}$ に変化する．よって長さ方向の歪 ${\displaystyle {\epsilon }_x}$ は

${\displaystyle {\epsilon }_x=\frac{d{s}^{\prime }-ds}{ds}}$

となる．梁の曲率半径を${\displaystyle R}$ とし，梁の微少長さ${\displaystyle ds}$に対応する中心角を${\displaystyle d\theta }$ とすると

${\displaystyle ds=Rd\theta }$

${\displaystyle d{s}^{\prime }=\left(R-y\right)d\theta }$

となる．よって

${\displaystyle {\epsilon }_x=\frac{\left(R-y\right)d\theta -Rd\theta }{Rd\theta }=-\frac{y}{R}}$

となる．応力${\displaystyle \sigma }$ と歪${\displaystyle \epsilon }$ みの関係は

${\displaystyle \sigma =E\epsilon }$

より

${\displaystyle {\sigma }_x=-\frac{E}{R}y}$

となる．

　

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最終更新日2017年5月30日

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