媒介変数表示における導関数

$3$\displaystyle{x=f $t$ }$ , $3$\displaystyle{y=g $t$ }$ と媒介変数で表すことのできる $3$\displaystyle{x}$ の関数 $3$\displaystyle{y}$ がある。
このときの $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$ を求める。

$3$\displaystyle{ x=f $t$ }$ を $3$t$ に関して解いて,
$3$\displaystyle{ t=r $x$ }$ が得られたとする。
すると, $3$\displaystyle{ y=g $ r \(x$ \) }$ と表すことができる。

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} g $ r \( x+h $ \) - g $ r \(x$ \) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} }$

ここで, $3$\displaystyle{h={\Delta}x=f $ t+j $ - f $t$ }$ 　　　　　　　　　 $3$\displaystyle{ $ j={\Delta}t $ }$ である。

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 } \{\begin{array}{lll}\frac{\hspace{2} g $ r \( x+h $ \) - g $ r \(x$ \) \hspace{2}}{\hspace{2} r $ x+h $ - r $x$ \hspace{2}}& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\cdot \frac{\hspace{2} r $ x+h $ - r $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array}\} }$

ここで,
$3$\displaystyle{r $ x+h $ - r $x$ =j}$ とおくと,
$3$\displaystyle{r $ x+h $ =r $x$ +j=t+j}$ となり,また $3$\displaystyle{h\rightarrow 0}$ ならば $3$\displaystyle{j\rightarrow 0}$ となる。

よって,
$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ j\rightarrow 0 } \{\begin{array}{lll}\frac{\hspace{2} g $ t+j $ - g $t$ \hspace{2}}{\hspace{2}j\hspace{2}}& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\cdot \frac{\hspace{2}j\hspace{2}}{\hspace{2} f $ t+j $ - f $t$ \hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array}\} }$

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}= \{ { \lim }\limits_{ j\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} g $ t+j $ - g $t$ \hspace{2}}{\hspace{2}j\hspace{2}} \} \cdot & \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}} \{ { \lim }\limits_{ j\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} f $ t+j $ - f $t$ \hspace{2}}{\hspace{2}j\hspace{2}} \hspace{2}} \} & \vspace{6}\\ \end{array}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {g}^{\prime } $t$ \hspace{2}}{\hspace{2} {f}^{\prime } $t$ \hspace{2}}}$
　　　(微分に関する基本式⇒)

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} \hspace{2}}}$

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