指数関数の微分

対数微分法を用いる
$3$e$ に底を変換して微分する

指数関数を微分する場合,底を自然対数の底 $3$e$ に変換してから微分するとよい。

<例>
底が $3$a$ である $3$\displaystyle{ {a}^{x} }$ を,底を $3$e$ に変換して微分する。
(ただし, $3$a$ は0より大きい定数)

$3$\displaystyle{{ $ {a}^{x} $ }^{\prime }={ $ {e}^{ \log {a}^{x} } $ }^{\prime }}$ 　　　※1
$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}={ $ {e}^{ x\log a } $ }^{\prime }& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}= $ \log a $ \cdot {e}^{ x\log a }& \vspace{6}\\ \end{array}}$ ※2
$3$\displaystyle{\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}={a}^{x}\log a}$ 　　　　※3

<注1>
　※1:指数関数の底の変換⇒
　　 $3$\displaystyle{{a}^{x}={e}^{ \log {a}^{x} }}$
　※2:合成関数の微分⇒
　 $3$\displaystyle{y={e}^{u},u=x\log a}$
　※3: $3$\displaystyle{{e}^{ \log {a}^{x} }={a}^{x}}$
$3$\displaystyle{{a}^{x}}$ の微分に関して⇒

底が変数 $3$x$ である $3$\displaystyle{{x}^{x}}$ を,底を $3$e$ に変換して微分する。

$3$\displaystyle{{ $ {x}^{x} $ }^{\prime }={ $ {e}^{ \log {x}^{x} } $ }^{\prime }}$ 　　　※4
$3$\displaystyle{\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}={ $ {e}^{ x\log x } $ }^{\prime }}$
$3$\displaystyle{\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}={e}^{ x\log x }\cdot { $ x\log x $ }^{\prime }}$ ※5
$3$\displaystyle{\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}={e}^{ x\log x }\cdot $ \log x+x\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} $ }$
$3$\displaystyle{\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}= $ \log x+1 $ {x}^{x}}$ 　　※6

<注2>
　※4:指数関数の底の変換⇒
　※5:合成関数の微分⇒
　 $3$\displaystyle{y={e}^{u},u=x\log x}$
　※6: $3$\displaystyle{{e}^{ \log {x}^{x} }={x}^{x}}$

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