実数の範囲で2次方程式の解を考えていた場合，判別式 の場合解なしとなって解を表現することができなかった。 では解の公式の中の√の ，などの場合である。実数の世界では√の中は0以上の実数であることが必要であったからである。しかし，，などを表現することができれば数学の世界が広がる。そこで，新しい数学記号 が考え出された。 は2乗すると-1になる記号である。すなわち，になる。この記号を使うと，は，， と表すことがでる。一般に， を と表わす。
を用いた数 （，は実数）を複素数と呼ぶ。 の場合は複素数 は実数 となる。 よって複素数は実数を含む。
実数は直線上の点として表してきたが，複素数は複素平面上の点として表現する。
を虚数， を純虚数という。
