共役な複素数

複素数 $3$a+b\text{\hspace{2}}\mathbb{{i}}$ （ $3$a$ ， $3$b$ は実数）に対して数 $3$a-b\text{\hspace{2}}\mathbb{{i}}$ を数 $3$a+b\text{\hspace{2}}\mathbb{{i}}$ の共役な複素数という。すなわち，共役な複素数は実数部は同じで虚数部は-1を掛けたもになる。

複素数 $3$a+b\text{\hspace{2}}\mathbb{{i}}$ を $3$\displaystyle{{\alpha}}$ で表すと，共役な複素数は $3$\displaystyle{ \bar{{\alpha}} }$ と表される。

また，複素数 $3$a-b\text{\hspace{2}}\mathbb{{i}}$ の共役な複素数は $3$a+ $ - b $ $ - 1 $ \mathbb{{i}}=a+b\text{\hspace{2}}\mathbb{{i}}$ となる。このことから $3$a+b\text{\hspace{2}}\mathbb{{i}}$ と $3$a-b\text{\hspace{2}}\mathbb{{i}}$ を互いに共役な複素数という。

共役な複素数は次のような特徴をもつ。

共役な複素数の和は実数
　　　 $3$ $ a+b\text{\hspace{2}}\mathbb{{i}} $ + $ a- b\text{\hspace{2}}\mathbb{{i}} $ =2a$

共役な複素数の積は実数
　　　 $3$ $ a+b\text{\hspace{2}}\mathbb{{i}} $ $ a- b\text{\hspace{2}}\mathbb{{i}} $ ={a}^{2}+{b}^{2}$

実数の範囲で2次方程式 $3$a{x}^{2}+bx+c=0$ （ $3$a$ ， $3$b$ ， $3$c$ は実数）の解を考えていた場合，判別式 $3$D< 0$ の場合解なしとなって解を表現することができなかったが，複素数まで扱う数を拡大すると2つの共役な複素数が解となる。解は，

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2} - b\pm \sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}}$
$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - b\pm \sqrt{ 4ac- {b}^{2} }\mathbb{{i}} \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}}$
$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - b \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}\pm \frac{\hspace{2} \sqrt{ 4ac- {b}^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}\mathbb{{i}}}$ 　

となる。

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