共役な複素数

複素数 a+b ⅈ （ a ， b は実数）に対して数 a-b ⅈ を数 a+b ⅈ の共役な複素数という。すなわち，共役な複素数は実数部は同じで虚数部は-1を掛けたもになる。

複素数 a+b ⅈ を α で表すと，共役な複素数は α ¯ と表される。

また，複素数 a-b ⅈの共役な複素数は a+( −b )( −1 )ⅈ=a+b ⅈ となる。このことから a+b ⅈと a-b ⅈを互いに共役な複素数という。

共役な複素数は次のような特徴をもつ。

共役な複素数の和は実数
　　　 ( a+b ⅈ )+( a−b ⅈ )=2a

共役な複素数の積は実数
　　　 ( a+b ⅈ )( a−b ⅈ )= a 2 + b 2

実数の範囲で2次方程式 a x 2 +bx+c=0 （ a ， b ， c は実数）の解を考えていた場合，判別式 D<0 の場合解なしとなって解を表現することができなかったが，複素数まで扱う数を拡大すると2つの共役な複素数が解となる。解は，

x= −b± b 2 −4ac 2a
= −b± 4ac− b 2 ⅈ 2a
= −b 2a ± 4ac− b 2 2a ⅈ 　

となる。