z
n
=α
の解
まず，
z n =α ･･････(1)
の解を
α=r( cosθ+ⅈsinθ )
(
r>0)
とおくと
z
k
=
r
n
(
cos
θ
+
2
π
·
k
n
+
ⅈ
sin
θ
+
2
π
·
k
n
)
( k=1,2,3,······,n−1 ) ･･････(2)
となる。
■導出計算
(1)の解を
z=R( cosϕ+ⅈsinϕ ) ( R>0) ･･････(3)
とおく。 ド・モアブルの定理より(1)は，
R n ( cosnϕ+ⅈsinnϕ )=r( cosθ+ⅈsinθ ) ･･････(4)
(4)の両辺を比較することにより，
R n =r ･･････(5)
cosnϕ=cosθ,sinnϕ=sinθ ･･････(6)
R，rは正の実数であるから，(5)より
R= r n ･･････(7)
(6)より
nϕ=θ+2π·k
∴ϕ= θ+2π·k n ･･････(7)
z k = r n ( cos θ+2π·k n +ⅈsin θ+2π·k n ) ･･････(8)
ところが，(8)より z k+n = z k となるので，k の値いは1，2，3，･･････，n−1となる。
よって解ば求められた。
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