行列の積

行列 $3$\displaystyle{A}$ と行列 $3$\displaystyle{B}$ の積 $3$\displaystyle{AB}$ を行うためには， $3$\displaystyle{A}$ の列数＝ $3$\displaystyle{B}$ 行列　でなければならない。2行2列の行列の積は，

$3$\displaystyle{A= $ \begin{array}a&b& \vspace{6}\\ c&d& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ， $3$\displaystyle{B= $ \begin{array}p&q& \vspace{6}\\ r&s& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ とすると，　

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll} AB & = $ \begin{array}a&b& \vspace{6}\\ c&d& \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array}p&q& \vspace{6}\\ r&s& \vspace{6}\\ \end{array} $ & \vspace{6}\\ & = $ \begin{array} ap+br & aq+bs & \vspace{6}\\ cp+dr & cq+ds & \vspace{6}\\ \end{array} $ & \vspace{6}\\ \end{array}}$

と定められている。 $3$\displaystyle{A}$ の第 $3$\displaystyle{m}$ 行の各成分と $3$\displaystyle{B}$ の第 $3$\displaystyle{n}$ 列の各成分との積の和が行列の積 $3$\displaystyle{AB}$ の $3$\displaystyle{m}$ 行 $3$\displaystyle{n}$ 列の成分となる。その他の行列の積の例を示す。

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}a&b& \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array}p& \vspace{6}\\ q& \vspace{6}\\ \end{array} $ = $ ap+bq $ }$

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}a&b&c& \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array}p& \vspace{6}\\ q& \vspace{6}\\ r& \vspace{6}\\ \end{array} $ = $ ap+bq+cr $ }$

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}a&b& \vspace{6}\\ c&d& \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array}p& \vspace{6}\\ q& \vspace{6}\\ \end{array} $ = $ \begin{array} ap+bq & \vspace{6}\\ cp+dq & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}a&b& \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array}p&q& \vspace{6}\\ r&s& \vspace{6}\\ \end{array} $ = $ \begin{array} ap+br & aq+bs & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

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