行列を用いた回転

点Q $3$\displaystyle{ $ X,Y $ }$ は点P $3$\displaystyle{ $ x,y $ }$ を $3$\displaystyle{{\beta}}$ 回転させたものである。点Pの座標の $3$\displaystyle{x}$ ， $3$\displaystyle{y}$ を $3$\displaystyle{r}$ と $3$\displaystyle{{\alpha}}$ で表わすと，

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}x=r\cos {\alpha}& \vspace{6}\\ y=r\sin {\alpha}& \vspace{6}\\ \end{array}}$ ・・・・・・ (1)

点Qの座標の $3$\displaystyle{X}$ ， $3$\displaystyle{Y}$ を $3$\displaystyle{r}$ と $3$\displaystyle{{\alpha}}$ ， $3$\displaystyle{{\beta}}$ で表わすと，

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}X=r\cos $ {\alpha}+{\beta} $ & \vspace{6}\\ Y=r\sin $ {\alpha}+{\beta} $ & \vspace{6}\\ \end{array}}$

加法定理を用いると，

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}X=r $ \cos {\alpha}\cos {\beta}- \sin {\alpha}\sin {\beta} $ & \vspace{6}\\ Y=r $ \sin {\alpha}\cos {\beta}+\cos {\alpha}\sin {\beta} $ & \vspace{6}\\ \end{array}}$

となる。(1) を代入すると，

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}X=x\cos {\beta}- y\sin {\beta}& \vspace{6}\\ Y=x\sin {\beta}+y\cos {\beta}& \vspace{6}\\ \end{array}}$

となる。この関係を行列を用いて表わすと，

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}X& \vspace{6}\\ Y& \vspace{6}\\ \end{array} $ = $ \begin{array} \cos {\beta} & - \sin {\beta} & \vspace{6}\\ \sin {\beta} & \cos {\beta} & \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

となる。

行列 $3$\displaystyle{ $ \begin{array} \cos {\beta} & - \sin {\beta} & \vspace{6}\\ \sin {\beta} & \cos {\beta} & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ を回転行列という。

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