点Q ( X,Y ) は 点P ( x,y ) を β 回転させたものである。 点Pの座標の x ， yを r と α で表わすと，

x=rcosα y=rsinα     ・・・・・・ (1)

点Qの座標の X ， Yを r と α， β で表わすと，

X=rcos( α+β ) Y=rsin( α+β )

加法定理を用いると，

X=r( cosαcosβ−sinαsinβ ) Y=r( sinαcosβ+cosαsinβ )

となる。(1) を代入すると，

X=xcosβ−ysinβ Y=xsinβ+ycosβ

となる。この関係を行列を用いて表わすと，

( X Y )=( cosβ −sinβ sinβ cosβ )( x y )

となる。

行列  ( cosβ −sinβ sinβ cosβ )  を回転行列という。