2倍角の公式(cos2α)

2倍角の公式の導出( $3$\displaystyle{\cos 2{\alpha}}$ 編)

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}\cos 2{\alpha}=\cos $ {\alpha}+{\alpha} $ & \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}=\cos {\alpha}\cos {\alpha}- \sin {\alpha}\sin {\alpha}& \vspace{6}\\ \end{array}}$
$3$\displaystyle{\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}={\cos }^{2}{\alpha}- {\sin }^{2}{\alpha}}$ ･･･(1)

(1)に三角関数の相互関係である $3$\displaystyle{ { \sin }^{2}{\alpha}+{ \cos }^{2}{\alpha}=1 }$ から得られる $3$\displaystyle{{\sin }^{2}{\alpha}=1- {\cos }^{2}{\alpha}}$ を代入すると

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}={\cos }^{2}{\alpha}- $ 1- { \cos }^{2}{\alpha} $ & \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}=2{\cos }^{2}{\alpha}- 1& \vspace{6}\\ \end{array}}$

すなわち，

$3$\displaystyle{\cos 2{\alpha}=2{\cos }^{2}{\alpha}- 1}$

$3$\displaystyle{\cos }$ の2倍角の公式が得られる。

同様に(1)に三角関数の相互関係 $3$\displaystyle{{\sin }^{2}{\alpha}+{\cos }^{2}{\alpha}=1}$ から得られる $3$\displaystyle{{\cos }^{2}{\alpha}=1- {\sin }^{2}{\alpha}}$ を代入すると

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}= $ 1- { \sin }^{2}{\alpha} $ - {\sin }^{2}{\alpha}& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}=1- 2{\sin }^{2}{\alpha}& \vspace{6}\\ \end{array}}$

すなわち，

$3$\displaystyle{\cos 2{\alpha}=1- 2{\sin }^{2}{\alpha}}$

の別の2倍角の公式が得られる。

<参照>
加法定理

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