加法定理の証明

単位円上に点 $3$\displaystyle{\text{P},\text{Q}}$ がある。 $3$\displaystyle{\text{OP}}$ と $3$\displaystyle{x}$ 軸のなす角を $3$\displaystyle{{\alpha}}$ ， $3$\displaystyle{\text{OQ}}$ と $3$\displaystyle{x}$ 軸のなす角を $3$\displaystyle{{\beta}}$ とする。(下図)

加法定理の図

三角形 $3$\displaystyle{\text{OPQ}}$ を考え，余弦定理より，

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}{\text{PQ}}^{\text{2}}={\text{OP}}^{\text{2}}+{\text{OQ}}^{2}- & \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}2\text{OP}\cdot \text{OQ}\cos $ {\alpha}- {\beta} $ & \vspace{6}\\ \end{array}}$

$3$\displaystyle{\text{\hspace{5}}={1}^{2}+{1}^{2}- 2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos $ {\alpha}- {\beta} $ }$

$3$\displaystyle{\text{\hspace{5}}=2- 2\cos $ {\alpha}- {\beta} $ }$ 　･･･(1)

線分 $3$\displaystyle{ \text{PQ} }$ の長さを点 $3$\displaystyle{\text{P}}$ ，点 $3$\displaystyle{\text{Q}}$ の座標成分を用いて表すと，

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}{\text{PQ}}^{\text{2}}={ $ \cos {\beta}- \cos {\alpha} $ }^{2}+& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}{ $ \sin {\beta}- \sin {\alpha} $ }^{2}& \vspace{6}\\ \end{array}}$

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}={\cos }^{2}{\beta}- 2+{\cos }^{2}{\alpha}+& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}{\sin }^{2}{\beta}- 2+{\sin }^{2}{\alpha}& \vspace{6}\\ \end{array}}$

$3$\displaystyle{=2- 2 $\begin{array}{lll}\sin {\alpha}\sin {\beta}+& \vspace{6}\\ \cos {\alpha}\cos {\beta}& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ･･･(2)

(1)，(2)より，

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}2- 2\cos $ {\alpha}- {\beta} $ =& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}2- 2 $ \cos {\alpha}\cos {\beta}+\sin {\alpha}\sin {\beta} $ & \vspace{6}\\ \end{array}}$

よって，

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}\cos $ {\alpha}- {\beta} $ =& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\cos {\alpha}\cos {\beta}+\sin {\alpha}\sin {\beta}& \vspace{6}\\ \end{array}}$ ･･･(3)

(3)を用いて他の加法定理の公式を導くことができる。

$3$\displaystyle{\cos $ {\alpha}+{\beta} $ }$	⇒

$3$\displaystyle{\sin $ {\alpha}+{\beta} $ }$	⇒

$3$\displaystyle{\sin $ {\alpha}-{\beta} $ }$	⇒

$3$\displaystyle{\tan $ {\alpha}+{\beta} $ }$	⇒

$3$\displaystyle{\tan $ {\alpha}-{\beta} $ }$	⇒

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